Reprise des cours particuliers

Je reprends les cours particuliers l’année prochaine, en parallèle de mon activité en établissement puisque j’aurai un poste à temps partiel, et surtout près de Nantes ! Toutefois, je ne pourrai suivre qu’un tout petit nombre d’élève durant l’année en comparaison du temps où c’était mon unique activité.

Il est possible de prévoir quelques cours dès le début de l’été pour « mettre de l’ordre » dans les apprentissage de l’année avant l’été. Les vacances sont une période où l’on décante, où le cerveau « fait le tri », oublie, fixe certains souvenirs… dans l’état dans lequel ils sont. Même s’il est plus difficile de conserver l’élan quand les vacances débutent, il me semble que c’est le meilleur moment de l’été pour préparer la rentrée.

Cela dit, quelques cours avant la rentrée permettent aussi de remobiliser les connaissances, les compétences…

En espérant vous retrouver bientôt.

Jean-Marc

Des « égal » plus égaux que d’autres

coluche
Les hommes naissent libres et égaux,
mais certains sont plus égaux que d’autres
(Coluche)

 

L’égalité mathématique désigne la relation entre deux objets qui seraient parfaitement équivalents, substituables l’un à l’autre. On la représente par le signe $=$.

Toutefois, ce symbole est utilisé dans des contextes bien différents, et ce sans que la différence sémantique ne soit discutée en classe, (pour ce que je peux constater auprès de mes élèves).

Je vous propose d’explorer ces différentes facettes du $=$, à savoir :

  • l’identité (que l’on utilise dans les calculs)
  • la définition (attribution d’une valeur à une lettre par exemple)
  • la proposition (égal des équations)

Notamment en voyant comment les notions sous-jacentes sont traitées en informatique.

Le égal égal

Quand on fait un calcul, disons $2 + 3 =5$ pour rester simples, le égal ici nous dit que le nombre obtenu en ajoutant $2$ et $3$ et le nombre $5$ sont une seule et même chose. On pourrait remplacer l’un par l’autre. Toutefois on écrit rarement $5 = 3 + 2$ et pour les élèves, ce $=$ veut dire « donne », c’est comme la touche de la calculatrice qui donne le résultat, ce qui amène des erreurs d’écriture dont je ne parlerai pas ici.

C’est pourtant bien le même $=$ que celui que l’on utilise en 5è, on apprend à développer, factoriser,  et les formules que l’on apprend sont des identités.

$k.(a+b)=k.a+k.b$ pour tous les nombres $k$, $a$, $b$. On appelle ce genre de relation identité car on peut substituer l’une à l’autre écriture en fonction de ce que l’on souhaite faire. C’est égal, identique. C’est également toujours vrai, personne ne saurait trouver de nombres $k$, $a$, et $b$ pour lesquels cela ne fonctionnerait pas.

De plus, le symbole ici est parfaitement adapté car on passe de l’un à l’autre de gauche à droite ou de droite à gauche, ce que suggère la symétrie du symbole.

Le égal d’attribution.

On voit aussi parfois des exercices comme :

On pose $A = 2n^2 + 3n-2$ où $n$ est un entier positif. Calculer $A$ quand $n=2$ puis quand $n=10$

Ici, $A$ et $n$ ne sont pas n’importe quel nombre. Ils sont liés. Si on choisissait $A$ et $n$ au hasard, il y a toutes les chances pour que l’égalité ne soit plus vraie. C’est déjà une grande nuance par rapport à tout à l’heure. De même $n$ n’est pas toujours égal à $2$. La preuve, dans la question suivante, $n$ vaut $10$. Il faudrait savoir !

En fait ici,  $=$ dans cet exercice sert à définir, à donner une valeur à $n$. La lettre $A$ représente une expression qui dépend de $n$, que l’on appelle $A$ pour pouvoir la désigner de manière concise. Pour chaque valeur de $n$, le calcul $2n + 3n-2$ donne un résultat différent. $n$ est une variable et $A$ une expression dont la valeur dépend de $n$.

Quand on impose une valeur à $n$, on devrait écrire $n:=2$, $n←2$ ou $2→n$ comme on le fait en informatique. De nombreux ouvrages universitaires récents (Warusfel, RMS,…) font d’ores et déjà usage de ce $:=$ dont je ne serais pas surpris qu’il devienne la norme en Mathématiques également. Ce qu’il faut retenir ici c’est qu’il y a un sens. $1+1=2$ dans les deux sens mais si on peut poser comme convention que $n$ prend la valeur $2$, ce qui nous autorise à remplacer $n$ par $2$ pour mener le calcul, cela n’aurait pas beaucoup de sens de se dire : « Tiens, je vais remplacer les nombres $2$ par la lettre $n$. » L’écriture $2$ se suffit à elle même.

Les égals pas égaux…

le-chat

Pour finir cet aperçu des différentes utilisations du symbole $=$ nous allons parler des équations. Une équation consiste en deux expressions littérales liées par un signe égal. On cherche la ou les valeurs des inconnues de l’équation.

Il me semble important de bien comprendre que ces deux expressions ne sont pas égales a priori mais qu’on aimerait savoir si elles le sont au moins pour quelques valeurs de $x$, ou $y$ ou quelle que soit la (les) lettres qu’on ait choisi pour désigner la (les) inconnue(s).

Par exemple, considérons l’équation $2x+3=x+8$, d’inconnue $x$. Si vous choisissez une valeur pour $x$ et faites les calculs de part et d’autre du signe =, vous trouverez (sauf coup de chance) des choses différentes. En tâtonnant, vous finirez par trouver une valeur qui convient, qu’on appelle solution.

On peut aussi « résoudre » l’équation écrivant une suite d’équations équivalentes. Pour cela, regardons d’abord ce que signifie ce signe $=$.

Dans une équation, le $=$ est une relation logique qui, pour un nombre $x$ fixé peut être soit vraie ou fausse. Quand on résout une équation, on enchaîne les propositions qui vont être « vraies » ou « fausses » pour les mêmes valeurs de l’inconnue. Reprenons notre exemple précédent. On écrira :

« Les équations suivantes sont équivalentes :

$2x+3=x+8$
$2x-x=8-3$
$x=5$

L’unique solution de l’équation est $5$. »

Notons ici que la troisième ligne : $x=5$ est aussi une équation. Nous ne sommes pas, comme précédemment, en train de définir $x:=5$. Nous disons ici que la relation « $2x+3=x+8$ » est vraie si et seulement si la relation « $x=5$ » est vraie. La seule valeur de $x$ qui rende vraie cette dernière relation est évidemment $5$ ! En résolvant une équation, on peut être amené à écrire des choses hérissantes comme $0=1$ ! L’équation qui va suivre est digne de considération :

$x^{2}-3x+x(x+1)=(2x+1)(x-3)+3x$

En développant dans chaque membre on obtient l’équation équivalente :
$x^{2}-3x+x^{2}+x=2x^{2}-6x+x-3+3x$ puis en réduisant
$2x^{2}-2x=2x^{2}-2x-3$

enfin $0=3$

En général, à ce moment précis, un vertige s’empare de l’élève qui s’empresse d’ajouter « IMPOSSIBLE ! l’équation n’a pas de solution. » Ouf.

Mais on peut tout à fait écrire $0=3$ dans car il ne s’agit pas d’une égalité mais d’une relation, qui peut être vraie ou fausse selon les valeurs de $x$. En l’occurrence ici, on ne saurait trouver de valeur de $x$ qui rende vraie l’égalité donc l’équation n’a pas de solution !

En informatique, on utilise souvent le double égal == pour tester une égalité. Quand on écrit par exemple :

if n^2-3n==2k+1 then <commandes>

L’ordinateur teste si les nombres obtenus en calculant $n^{2}-3n$ et $2k+1$ (avec les valeurs de $k$ et $n$ qu’il a en mémoire à ce moment là) sont égales ou non. Si oui, il renvoie la valeur 1 (VRAI), sinon, il renvoie la valeur 0 (FAUX) Cette notation est symétrique à juste titre et me fait penser au $=$ des équations qui représente plus un « souhait » d’égalité qu’une égalité réelle.

Une question de contexte

Une même expression mathématique prendra donc un sens tout à fait différent selon le contexte dans laquelle elle est écrite.

Par exemple, si on écrit $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ tout seul, cela n’a pas vraiment de sens car on ne sait pas s’il s’agit d’une équation ou d’une identité.

En écrivant : « Pour tout nombre $x$, on a $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ », on a une identité, c’est à dire une vraie égalité.

Si on ne précise pas « pour tout nombre $x$ », on ne peut pas le savoir et on pourrait considérer l’expression comme une équation. Puisqu’ici la relation est toujours vraie, pour tout $x$, on pourrait alors dire : « Tout nombre $x$ est solution de l’équation !

On est souvent amené à mêler les deux. Dans les exemples d’équations précédents, j’ai développé des expressions, c’est à dire j’ai remplacé une expression par une autre identique, égale pour tout $x$ afin d’obtenir une nouvelle équation équivalente.

Égal ou pas

On rencontre en mathématiques des exercices où l’on doit tester une égalité. Nous allons discuter de trois cas que l’on rencontre au collège :

  • tester si un nombre est solution d’une équation donnée
  • déterminer si un triangle est rectangle ou non avec la réciproque ou la contraposée du théorème du Pythagore
  • déterminer si deux droites sont parallèles ou non avec la contraposée ou la réciproque du théorème de Thalès.

Ces trois cas relèvent en fait d’une même logique où l’on teste une égalité. Dans ce cas, on ne sait pas au départ si l’égalité est vérifiée ou pas. La méthode est donc la même : on calcule séparément chaque membre de l’égalité, ce qui nous permet de savoir si c’est égal ou non et d’en conclure quelque-chose.

Par exemple : 3 est-il solution de l’équation $2x-3=5x+2$ ?

Pour $x=3$ nous avons
d’une part $2x-3=2×3-3=6-3=3$
et d’autre part $5x+2=5×3+2=15+2=17$

Nous voyons ainsi que, pour $x=3$, $2x-3\neq 5x+2$ et $3$ n’est donc pas solution de l’équation.

De même, pour le théorème de Pythagore, on calcule séparément les termes afin de savoir si la relation est vérifiée ou non. Par exemple, si un triangle $ABC$ a pour dimensions $AB=8$, $BC=6$ et $AC=10$. Est-il rectangle ?

D’une part, $AC^{2} = 10^{2} = 100$
D’autre part, $AB^{2} + BC^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100$

On constate que $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Dans ce cas, comme pour l’équation, il s’agit de savoir si la relation est vérifiée ou non, si l’égalité est vraie ou non.

AVERTISSEMENT : Je déconseille la lecture de ce qui suit aux personnes qui préfèrent les méthodes éprouvées et les invite à passer à la conclusion. À ceux qui souhaitent voir d’autres aspects de la logique, j’aimerais montrer que, moyennant quelques ajustements, la rédaction honnie (à juste titre) par tous les profs de maths peut être parfaitement valide…  si l’on joue sur les différents sens du signe $=$. Nous allons écrire des propositions équivalentes, en nous concentrant uniquement sur le caractère vrai ou faux de celles-ci.

Par exemple, pour $x=3$, les relations suivantes sont équivalentes :

$2x-3=5x+2$
$2×3-3=5×3+2$
$6-3=15+2$
$3=17$

La dernière relation est fausse donc la première l’est aussi pour $x=3$ ce qui prouve que $3$ n’est pas solution de l’équation.

Il est, je le rappelle, interdit de rédiger comme cela sauf si chaque $=$ représente non pas une égalité mais une relation qui peut être vraie ou fausse. Cela doit apparaître très clairement. Si vous êtes élève en collège ou lycée, je ne peux que vous recommander de rédiger comme vos enseignants vous l’ont appris plutôt que comme ci-dessus.

En conclusion

Il est bon de connaître cette polysémie du symbole $=$ car cela peut nous éviter certaines erreurs de logique. Disons pour résumer que l’on peut toujours remplacer une expression, un nombre, par un autre qui lui est « identique », égal dans tous les cas afin d’avancer dans le raisonnement. Enfin, notamment dans le supérieur (mais en fait dès l’introduction des équations en classe de 5ème) on manipule des $=$ qui représentent des relations, vraies ou fausses dans des raisonnements logiques.

Comment j’ai détesté les maths

Non, pas moi, Olivier Peyon, qui nous offre un vrai film sur les maths, avec de vrais mathématiciens… qui sauront j’en suis sûr vous faire comprendre que les mathématiques sont victimes d’une gigantesque malentendu et que, loin d’être un rébarbatif objet de torture scolaire, elles peuvent se montrer fascinantes, utiles, voire dangereuses…

Vous trouverez la fiche complète du film ici.

Le site du film ici avec la bande annonce…

sur twitter #wtfmaths

En salle le 27 novembre 2013.

Variations autour de la « Variation de la Constante »

Prérequis : Équations différentielles linéaires du premier ordre, variation de la constante.

Une constante qui varie… quelle drôle d’idée pourtant centrale dans la théorie des équations différentielles. Nous allons partir de la preuve de cette méthode pour montrer que l’on peut s’en passer, que c’est même plus simple et peut inspirer des changements de fonction inconnue élégants.

Se passer de variation de la constante :

On considère une équation différentielle de la forme standardisée $ y’+a.y=b $ où $a$ et $b$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$.

En tant que fonction continue, $a$ admet une primitive $A$ sur $I$. On définit une nouvelle fonction inconnue$z$ définie sur $I$ par $z : x \mapsto e^{A(x)}y(x)$. $z$ est dérivable comme composée de fonctions dérivables et $\forall x \in I \text{, } z'(x)=e^{A(x)}(y'(x)+a(x)y(x))$. D’où $z'(x)=e^{A(x)}b(x)$

Ainsi $z$ peut s’écrire pour tout $x\in I$, $z(x)=F(x)+\lambda$ où $\lambda \in \mathbb{R}$ et $F$ est une primitive de $x\mapsto e^{A(x)}b(x)$ (qui existe car $b$ est continue)

Les solutions de l’équations sont $\{x\mapsto F(x)e^{-A(x)}+\lambda e^{-A(x)} / \lambda \in \mathbb{R}\}$

So what ?

Le lecteur reconnaîtra peut-être dans ce qui précède une adaptation de la preuve que la méthode de la variation de la constante fonctionne, mais rédiger ainsi présente deux avantages :

  • On peut résoudre une équation différentielle en une étape (en fait deux puisque pour bien faire, on rédigera en analyse/synthèse), sans distinguer d’équation homogène ou de solution particulière comme le montrent l’exemple à suivre. La rédaction s’en trouve généralement allégée.
  • En pratiquant cette variante, on développera une « intuition » pour des changements de fonction inconnue astucieux et qui adouciront la résolution de quelques équations différentielles plus corsées… (voir les paragraphes suivants.

Un exemple :

Par exemple, on considère l’équation différentielle

$(E)$ $y’+xy=x $ sur $\mathbb{R}$

Soit $f$ une solution de $(E)$. La fonction $z:x\mapsto e^{\frac{x^{2}}{2}}f(x)$ vérifie $$z'(x)=x.e^{\frac{x^{2}}{2}}f(x)+e^{\frac{x^{2}}{2}}f'(x)\\z'(x)=(f'(x)+xf(x))e^{\frac{x^{2}}{2}}\\z'(x)= x e^{\frac{x^{2}}{2}} \text{ car f est solution de (E)}\\z'(x)=xe^{\frac{x^{2}}{2}}$$

En intégrant, on trouve

$$\exists \lambda \in \mathbb{R} \text{, }z(x)=e^{\frac{x^{2}}{2}}+\lambda f(x)e^{\frac{x^{2}}{2}}=e^{\frac{x^{2}}{2}}+\lambda\\f(x)=1+\lambda e^{-\frac{x^{2}}{2}}$$

Réciproquement, on vérifie aisément que pour tout réel $\lambda$, une telle fonction $f$ est solution de (E)

Ainsi l’ensemble des solutions est $\{x \mapsto 1+\lambda e^{-x^{2}} / \lambda \in \mathbb{R}\}$

Le meilleur pour la fin

Solutions d’un système différentiel de type Volterra-Lottka

Vous aurez constaté qu’en cherchant à déterminer  la solution générale d’une ÉDL du premier ordre, on « tombe » souvent sur une forme $e^{\alpha \ln(…)}$ simplifiable. Si ça vous arrive, c’est que vous auriez pu utiliser l’astuce suivante.

L’idée est que si on réalise un changement de fonction inconnue avec $z=u.y$ où $u$ est une fonction suffisamment régulière pour que $z$ soit dérivable. Alors $z’ = u’y + uy’$. Vous remarquerez que de nombreux exercices se ramènent à $u’y + uy’=b(x)$, c-à-d à $z’=b$, un simple calcul de primitive !

Vous trouverez sur ce site de nombreux exemples intéressants et corrigés. Voici quelques morceaux choisis corrigés à ma manière.

$(x^2  + 1)y’ + 2xy + 1 = 0$

On reconnaît ici une équation différentielle du type $uy’+u’y=-1$ avec $u:x\mapsto x²+1$

Soit $f$ une solution de l’équation différentielle sur un intervalle $I$

Posons $g:x\mapsto (x²+1)f(x)$. g est dérivable comme produit de fonctions dérivables et $g'(x)=-1$ car $f$ est solution de l’équation initiale.

D’où l’existance d’un réel $\lambda$ tel que $g(x)=-x+\lambda$ sur $I$

Ainsi $(x²+1)f(x)=-x+\lambda$ puis $f(x)=\frac{-x}{x²+1}+\frac{\lambda}{x^2+1}$ car $(x²+1)\neq 0$

Réciproquement, toute fonction de cette forme est solution. Ainsi $S=\{x\mapsto \frac{-x}{x²+1}+\frac{\lambda}{x^2+1} / \lambda \in \mathbb{R}\}$

$x(1 + \ln ^2 (x))y’ + 2\ln (x)y = 1$ sur $\mathbb{R}^{ + \star } $

Ici, on retrouvera la forme en $uy’+u’y$ moyennant une petite modification. En effet, si on cherche une telle forme, on ne manquera pas de remarquer la correspondance entre $1 + \ln ^2 (x)$ et $2\ln (x)$ qui est « presque » sa dérivée.

Sur $\mathbb{R}^{ + \star } $ , on peut diviser par $x$ pour obtenir l’équation équivalente $(1 + \ln ^2 (x))y’ + 2\frac{1}{x}\ln (x)y = \frac{1}{x}$. On reconnaît une forme $uy’+u’y=b$

Pour toute fonction $y:\mathbb{R}^{ + \star }\to\mathbb{R}$ dérivable, on pose $z:\mathbb{R}^{ + \star }\to\mathbb{R}$ définie par $\forall x\in \mathbb{R}^{ + \star }\text{, }z(x)=(1 + \ln ^2 (x))y(x)$

$z$ est bien définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{ + \star }$ et on a $z'(x)=(1 + \ln ^2 (x))y'(x) + 2\frac{1}{x}\ln (x)y(x)$

Ainsi $y$ est solution de $(E)$ ssi $z$ est solution de $(E’)$ $z’=\frac{1}{x}$ dont la solution générale est $z(x)=\ln(x) + \lambda$ $(\lambda\in\mathbb{R})$.

D’où les solutions de $(E)$ : $S=\{x\mapsto \frac{\ln(x)}{1+\ln²(x)}\ + \frac{\lambda}{1+\ln²(x)} / \lambda\in\mathbb{R}\}$

Une résolution de l’équation homogène associée puis l’utilisation de la variation de la constante vous amènera bien évidemment au même point mais avouez que ce chemin ci est tout de même bien plus court et plus simple (une fois repéré le changement de variable).

Les équations de la forme
$uy’+nu’y=b(x)$ $(n\in\mathbb{Z}^{\star})$

On cherche à résoudre l’équation sur un intervalle où $u$ ne s’annule pas. L’équation est alors équivalente, en multipliant par $u^{n-1}$ à :

$$u^ny’+nu’u^{n-1}=b.u^{n-1}\\(u^ny)’=b.u^{n-1}$$

Un changement de fonction inconnue, une primitive avec sa constante d’intégration et c’est fini.

Un dernier exemple illustratif : $(1+e^{x})y’-2e^{x}y=e^{x}$ sur $\mathbb{R}$

On reconnaît $u$ et $u’$, et il y a ce « $-2$ ». En multipliant les deux membres par la quantité non nulle et bien définie sur $\mathbb{R}$ $(1+e^{x})^{-3}$ on obtient l’équation différentielle équivalente : $(1+e^{x})^{-2}y’-2e^{x}(1+e^{x})^{-3}y=e^{x}(1+e^{x})^{-3}$

le changement de fonction inconnue $z=(1+e^{x})^{-3}y$ nous ramène en rédigeant vite à $z’=e^{x}(1+e^{x})^{-3}$ donc $z(x)=\frac{-1}{2}(1+e^{x})^{-2} + \lambda$ $(\lambda\in\mathbb{R})$

d’où les solutions de l’équation de départ : $$S=\{x\mapsto\frac{-1}{2}(1+e^{x}) + \lambda(1+e^{x})^3 / \lambda\in\mathbb{R}\}$$

En conclusion

J’espère que ces quelques astuces vous auront intéressé et je vous invite à reprendre vos feuilles d’exercices ou vos livres préférés dans lesquels vous constaterez que ces astuces s’appliquent à une part non négligeable d’exemples.

Sans faire de fixation sur le procédé, passer quelques secondes à chercher un $u$ et $u’$ qui pourraient convenir ne vous coûte pas grand chose et peut vous rapporter gros.

 

Quelques conseils de lecture autour de la philosophie des Sciences

Quelques propositions de lecture sans souci d’exhaustivité, pour des élèves plutôt de niveau 1ère ou Terminale et plus. Quand j’ai découvert l’épistémologie, je venais de terminer mes études de mathématiques et je me suis dit alors que j’étais passé à côté d’une certaine profondeur durant toutes ces années abstraites. Heurhttp://www.dreamstime.com/-image1867284eusement pour moi, mon passage en PSI* m’avait donné de sérieuses références en Sciences Physiques qui mettaient en perspective les Mathématiques.

Par contre, quel est le sens d’un objet mathématique ? en quoi les mathématiques différent-elles d’un gigantesque syllogisme ? Quel est leur lien avec la vérité ? avec la réalité ? Sont-elles implacables ? Comment sont nées les notions ? Qu’est-ce qu’un nombre ? Qu’est ce qu’une droite ? Le hasard existe-t-il ? … Si on m’avait posé ces l’une de ces questions, j’aurais certainement eu une réponse mais je vis alors à quel point j’étais pétri de préjugés sur les mathématiques du simple fait que je baignais dedans. En étudiant la philosophie des mathématiques, on se rend compte à quel point la phrase de Bertrand Russel : « Les mathématiques sont la seule science où l’on ne sait pas de quoi l’on parle, ni si ce que l’on dit est vrai » mérite qu’on s’y pense au delà de la simple boutade.

Voici donc quelques suggestions de lecture, et je vous serais reconnaissant si vous connaissez d’autres livres inspirants, de m’en communiquer les références.

Bonne lecture !

HOFSTADTER Douglas, Gödel, Escher, Bach. Les Brins d’une Guirlande Éternelle

Le dada de Douglas Hofstadter, c’est les boucles étranges, l’auto-référence. Sauriez-vous dire par exemple si la phrase « Cette phrase est fausse » est vraie ou fausse ? Non ? C’est parce qu’elle parle d’elle même. Il développe dans ce livre parfois complexe et souvent très imagé, à la manière des histoires des anciens des analogies entre la musique de Bach, les gravures de Gödel et la démonstration du Théorème de Gödel qui ont pour point commun de reposer en grande partie sur l’auto-référence.

Pour information, Gödel a démontré que l’on pouvait formuler des énoncés mathématiques, dont la théorie mathématique ne permettait pas de décider le caractère vrai ou faux, obligeant ainsi à construire des branches parallèles non compatibles mais non contradictoires des mathématiques, à l’instar des géométries euclidiennes et non euclidienne.

KUHN Thomas-S, La Structure des Révolutions Scientifiques

Ce livre est un remarquable essai sur la notion de paradigme en sciences (sciences physiques surtout). Il montre comment une idée nouvelle naît, se répand, finit par être universellement acceptée avant de montrer ses limites, donnant naissances à de nouvelles hypothèses, une nouvelle théorie… L’approche est philosophique (très accessible) et surtout historique, reprenant notamment l’histoire de la mécanique. Une référence.

POINCARÉ Henri, La Science et l’Hypothèse

Henri Poincaré (fin XIXè début XXè) est l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire, certainement le dernier à avoir fait avancer tous les domaines des mathématiques, ouvrant la voie à la nouvelle physique (relativité, physique quantique…). Dans la Science et l’hypothèse, il développe l’idée du sens des mathématiques, de la création mathématiques, qui « diffèrent autant d’une accumulation de théorèmes qu’une maison d’un tas de briques » (j’ai reformulé). Poincaré avait coeur de rendre accessibles les mathématiques et l’ouvrage est d’une rare clarté. A (re)lire

CHANGEUX Jean-Pierre et CONNES Alain, Matière à pensée

Dialogue au sommet entre un éminent spécialiste du cerveau et un mathématicien de renom (Médaille Fields) autour de l’essence des mathématiques. Les objets mathématiques sont-ils des entités parfaites existant indépendamment de l’être humain comme l’affirme Platon, ou sont-elles inhérentes à la structure même du cerveau, comme précablées. Au moins que l’évolution n’ait façonné le cerveau pour être prédisposé aux mathématiques platoniciennes… Le livre ne donne pas la réponse mais bel et bien… matière à penser !

LUNDY Miranda, Daud SUTTON, Anthony ASHTON et John MARTINEAU, Quadrivium : Nombres, géométrie, musique, astronomie

Un ovni cet ouvrage qui mêle de belles courbes tracées par des procédés purement mécaniques, des considérations sur la physique de la résonance, la musique, l’art. On y retrouve également les préoccupations symboliques voire ésotériques des anciens (Kepler, Pythagore) qui voyaient les orbites des planètes inscrites dans des étoiles à cinq branches… la construction des gammes, des rythmes… De magnifiques illustrations, et beaucoup de matière à rêver les mathématiques.

Les collections Point Sciences chez Point et Champs Essais de Flammarion.

De nombreux ouvrages dans ces deux collections, sur le chaos, le cryptage, les nombres premiers, Gõdel… Souvent compréhensibles pour plus de la moitié par un élève de TS, d’autant qu’il y a toujours une approche historique et de vulgarisation. Ces ouvrages permettent d’entrevoir ce que sont « vraiment » les mathématiques, les thèmes d’après le bac. Cela pourrait intéresser aspirant MPSI ou étudiant en mathématiques.

Revues de mathématiques

Si vous êtes réellement passionnés, vous serez intéressés d’en apprendre plus sur l’histoire, des domaines hors « programmes officiels », de beaux exercices avec une belle résolution, des thèmes développés, des maths appliquées…

Tangente peut se lire tout au long du lycée (et même après)

Quadrature peut être abordée en TS (même tout n’est clairement pas accessible) et donne une bonne idée de ce à quoi ressemblent les mathématiques plus universitaires. On y trouvera des articles d’histoires des sciences voire de sémiologie… A noter l’excellent Hors Série sur Poincaré

La RMS plutôt destinée aux professeurs de maths sup/spé intéressera aussi les élèves de ces filières car on y trouve les sujets et les corrigés des épreuves de Polytechniques, ENS, agrégation ainsi que les exercices posés aux oraux des concours. Inabordable niveau TS, on y trouve toutefois quelques pages dédiées. Si vous deviez vous abonner en TS (comme investissement pour votre future prépa) choisissez la version numérique qui vous donnera accès à tous les numéros, et en particulier aux rubriques Terminale S des anciens numéros. Là encore, vous y trouverez matière représentative de ce que à quoi ressemblent les mathématiques après le bac.

Apprendre les mathématiques

Je rencontre souvent des élèves qui travaillent, parfois beaucoup, qui connaissent tout par cœur… et dont les notes ne récompensent pas le travail fourni. Et certainement, il ne manque pas grand chose pour concrétiser les efforts ! Alors, comment apprendre les mathématiques ? Il y a des méthodes en maths, mais surtout des méthodes pour réviser, pour travailler les maths.

Alors, avant de ranger les maths dans la case « c’est pas mon truc », je vous invite à lire la suite…

Mathématiques, langue étrange ?

Les mathématiques, c’est un peu comme pour les langues étrangères, vous pouvez apprendre par cœur des listes de vocabulaires, si vous ne les utilisez pas, ou si vous ne n’imaginez pas de situations où vous utilisez concrètement ces mots, vous les oublierez bien vite… Et même si vous avez une bonne mémoire, vous ne penserez pas nécessairement au mot adéquat au moment précis ou vous en avez besoin s’il ne vous a jamais servi auparavant. Pour apprendre un mot, il faut l’utiliser, s’imaginer en train de le dire dans tel ou tel contexte. L’idéal même serait d’y associer une image, un souvenir, un son, un film… bref de la vie et du sens (aussi au sens de « sensation ») sinon il reste inaccessible.

Les maths, ça ne s’apprend pas, ça se pratique

Pour les mathématiques, c’est exactement la même chose. Apprendre par cœur les définitions, les propriétés, les théorèmes, des exercices type… ne suffit pas !

alors, comment apprendre ? Comment rendre vivante cette langue étrange ?

Il ne s’agit pas de travailler plus pour gagner plus mais de travailler différemment (et peut-être moins !)

Les fiches

Une méthode efficace pour comprendre et retenir consiste à varier les supports (dessins, phrases image, phrase prononcée, reformulée, objets…) et à relier les idées entre elles. On peut faire des résumés de cours, avec les définitions, les propriétés, théorèmes… la plupart des élèves ont testé cela.

En plus, on peut faire des fiches de liens, faire pour chaque mot clé un schéma de tout ce qui y est relié.

Voici par exemple une fiche sur le parallélogramme que l’on peut faire en 5ème et que l’on peut compléter en Seconde avec les translations et vecteurs.

exemple de fiche sur le parallélogramme (5ème)

exemple de fiche de 5ème sur le parallélogramme (cliquez pour agrandir)

Ce genre de fiche permet, d’une part un support synthétique qui facilite la mémorisation et d’autre part est, en soi un outil méthodologique pour résoudre un problème.

Par exemple, si un exercice parle de parallélogramme, on aura en tête les mots : parallèles, longueur, angles, milieu… qui pourront servir à prouver d’autres choses.

Inversement, si le but d’un exercice est de prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on a tout de suite en tête les moyens pour y parvenir.

Pas besoin d’outils informatiques compliqués pour le faire : quelques crayons de couleur suffisent

Idéalement, on peut faire une fiche sur chaque mot clé (la fiche « parallélogramme » ne sera pas la même que la fiche « parallèles »). En les ayant toutes en tête on arrive immanquablement au résultat.

Résoudre les problèmes, mathématiques ou autres, est avant tout un art de se poser les bonnes questions (voir article « les questions clé » . Ensuite, les réponses viennent si on a les idées claires, c’est à dire si on a clairement en tête le champ des idées que l’on peut associer aux mots clé de ces questions.

Conseil :

Il est important de les faire soi-même et ensuite demander au professeur si c’est juste et s’il manque des choses importantes.

Revoir les exercices

En regardant un film ou un spectacle, on peut se laisser embarquer par l’éloquence et le « naturel » d’un acteur. Pour autant, on ne sera pas nécessairement plus éloquent, ou capable de reprendre ses intonations après la séance.

Développer une compétence nécessite d’imiter dans un premier temps. Un apprenti acteur s’entraîne à bouger « à la façon de », parler « à la façon de »… ce qui modifie son regard sur les autres acteurs, confirmés ou non. Il perçoit de plus en plus clairement leur façon de faire, ce qui lui donne de nouvelles idées. Mais pour celà, il faut faire, par soi même. Regarder des films ne fait pas un acteur. De même lire des livres ne suffit pas à faire un écrivain.

Hé bien, regarder des mathématiques ne fait pas (beaucoup) progresser en mathématiques ! (c’est vrai aussi pour les autres matières)

Apprendre les mathématiques, c’est

  • prendre le temps de se souvenir du maximum de choses en rentrant des cours avant de le relire
  • pour chaque propriété, se souvenir d’un exercice ou d’un exemple où elle a été utilisée
  • refaire les exercices sans regarder le corrigéfait en classe
    • ensuite seulement, on regarde le corrigé, et si il y a des différences, il faut absolument se demander
      • si ce que l’on a fait est juste (il y a souvent plusieurs méthodes possibles) et prendre le temps d’observer la méthode vue en classe, ses étapes…
      • si c’est suffisant. Si on a oublié des phrases, des étapes, il faut se demander pourquoi ce qu’il y a en plus dans le corrigé est important.
      • Si on a écrit plus de choses que dans l’énoncé, était-ce nécessaire ? Pourquoi est-ce que ce qu’il y a dans le corrigé suffit pour répondre.

 

J’espère que ces quelques idées pourront aider quelques personnes à optimiser leur manière de travailler les mathématiques. Si c’est le cas, n’hésitez pas à me laisser un mot sur le livre d’or, si ce n’est pas le cas, je suis ouvert à toutes les remarques qui me permettraient de rendre cet article plus complet et/ou plus pratique. Merci d’avance !

Des cours particuliers en prépa ?

Avant de décider de faire des cours particuliers mon activité principale, je ne savais pas qu’autant d’élèves de prépa prenaient des cours particuliers. L’élève de ECE pour qui les probabilités sont devenues ésotériques, l’élève de PSI* qui veut intégrer Supélec, l’élève de Louis le Grand qui veut repasser dans le premier quart du classement, le MPSI qui n’est pas sûr de passer en spé…

Les motivations sont diverses.

La prépa, c’est … une autre histoire

Les exigences mathématiques en prépa sont « assez » différentes de celles de Terminale. Pour résumer ces différences, disons que le rythme d’acquisition des connaissances est plus, voire « vraiment plus » soutenu, et la diversité des sujets fait que le bachotage ne suffit généralement pas à couvrir l’étendue de ce qui peut être demandé en évaluation. La prépa demande de la profondeur.

Fini les exercices stéréotypés. Pour suivre, il faut comprendre vite, et bien. Il faut aussi savoir adapter les connaissances à des contextes variés, trouver soi même les étapes de raisonnements…

Il y a donc plusieurs points où une aide peut être utile :

  • explicitation des notions, démonstrations, théorèmes…
  • aide méthodologique pour le travail personnel au long de l’année
  • aide méthoologique pour la résolution de sujets au long de l’année ou pour préparer les concours.

Ne pas perdre le fil

Surtout, quelle que soit la filière, il ne faut pas attendre d’être perdu pour demander un coup de pouce. Il n’y a rien d’alarmant à ne pas tout comprendre sur le vif en classe. Mais si une semaine après ça reste du chinois… mieux vaut réagir car tout se tient et d’autres chapitres viendront se construire sur ces bases. Plus elles sont solides, mieux ce sera.

Grandes ambitions

Quelles que soient les écoles auxquelles vous aspirez, c’est votre rigueur et votre intuition qui vous permettront d’améliorer votre classement grâce aux mathématiques. Or, ça se travaille ! Pour la rigueur, il faut avoir bien compris le cours, ses tenants et aboutissants. Quant à l’intuition, on la nourrit par notre manière d’apprendre et travailler (méthodologie) ou en observant in situ les questions qu’on peut se poser sur un sujet de concours pour le démêler.

Ce que je propose :

Terminale

Pour les élèves de Terminale qui envisagent d’intégrer une prépa, je ne crois pas que prendre de l’avance en potassant seul le programme de prépa soit d’une grande utilité. En revanche, travailler sur des sujets un peu épineux (olympiades, concours général…) et peaufiner la rédaction et l’autoévaluation peut être intéressant, soit pendant l’été avant la rentrée en prépa, soit, mieux encore, pendant l’année de Terminale.

Prépa

Pour les élèves de prépa, plusieurs types de cours sont possibles, éventuellement associés :

  • Séances de questions/réponses : Nous convenons un thème et je réponds à toutes vos questions. Cela nécessite évidemment en amont un travail de l’élève pour déterminer les points à éclaircir. Cela peut se faire avec plusieurs élèves (jusqu’à 3), pour bénéficier des questions des autres et baisser le coût du cours.
    Ce type de séance peut représenter un gain de temps considérable et est idéal pour peaufiner les révisions avant les écrits ou les oraux, ou encore remettre bien à plat le programme de sup avant l’entrée en spé
  • Travail sur sujets de concours : Nous convenons d’un thème, et je choisis un sujet d’écrit ou des sujets d’oraux. L’élève travaille dessus et je le conseille sur la manière de lire l’énoncé, sur les questions à se poser, associations d’idées utiles pour trouver la réponse. Si les sujets sont variés, les questions que l’on peut se poser ne le sont pas tant que ça.
  • En pratique, les deux sont toujours ou presque combinés.

Dans tous les cas, ce type de cours particulier sert à optimiser le travail personnel, qu’il ne remplace en aucun cas. En particulier, je ne connais pas de raccourci à l’apprentissage et les cours de dernière minute ne peuvent servir qu’à ordonner, structurer un peu plus ce qui est déjà connu mais pas à rattrapper le temps perdu.

Rigueur et intuition, les deux faces des mathématiques

einstein, intuition

L'intuition est plus importante que la connaissance (Einstein)

On connaît souvent le côté « froid » des mathématiques, leur « exactitude ». Ce que l’on sait moins, c’est qu’il y a autant de façons de faire des mathématiques que d’apprentis matheux !  Ce qui se passe dans la tête de quelqu’un qui fait des mathématiques reste un grand mystère, qui ne suit pas de règles. D’ailleurs, les chercheurs en mathématiques sont souvent de fins philosophes et parfois de grands poètes dans l’âme.

Le point commun de tous ceux qui font des mathématiques, élèves et professeurs à tous les niveaux, c’est qu’ils utilisent (parfois sans le savoir) deux aspects de la connaissance qui sont le savoir et l’intuition.

Le savoir, c’est le cours, les définitions, les théorèmes… précis, exacts et carrés, bref… mathématiques.

L’intuition, c’est ce qui fait qu’on passe d’une idée à l’autre, c’est cette foule d’associations d’idées qui viennent quand on se pose les bonnes questions, et permet de se lancer, de continuer, et d’arriver au bout de la démonstration

L’intuition, c’est commencer à écrire au brouillon, sans savoir où l’on va, juste pour se sortir les idées de la tête

La rigueur, c’est l’art de choisir parmi toutes ces idées et de les formuler en suivant les règles de rédaction propres à la langue mathématique.

En fait, on passe constamment de l’un à l’autre.

La rigueur dans l’intuition.

Le côté obscur de l’intuition, c’est la rêverie. Par exemple, on pense à tellement de choses qu’on ne sait plus choisir. Ou bien on invente des théorèmes (parfois vrais !) qui seraient bien utiles pour notre démonstration mais qui ne font pas partie des outils que l’on a le droit d’utiliser (on peut alors éventuellement les démontrer !)

En fait, quand on connait bien le cours et les propriétés (savoir, rigueur), cela cadre l’intuition car, en fait, il n’y a pas tant que ça de possibilités d’associations. Un bon moyen pour stimuler et cadrer l’intuition consiste à faire des « fiches d’associations d’idées » pour les mots importants (voir exemple ici). Avec un peu de pratique, on fabrique des arbres d’idées qui portent leurs fruits, c’est à dire dessinent un chemin entre les données de l’exercice et la conclusion recherchée (exemple ici)

De l’intuition dans la rigueur.

Le côté obscur de la rigueur, c’est la raideur. Si l’on ne fait qu’apprendre par coeur, on ne sait plus quoi faire quand ça change un petit peu, on manque de souplesse. On est perdu parce que « ce n’est pas pareil ». Le but de l’éducation aux mathématiques n’est pas de faire des robots, mais d’apprendre à utiliser un outil, un langage qui permet de modéliser, de prévoir, de comparer… bref qui sert à énormément de choses dans notre société rationelle.

Quand on a cette tendance à l’hyperrigueur, il faut éviter d’ajouter plus de « par cœur ». Pour assouplir la pratique des maths, on peut réviser en se demandant : « qu’est-ce qui aurait pu me faire penser à faire comme ceci ? ». Les exercices sont uniques, seules les questions sont recyclables.

Passer de l’un à l’autre

Pour passer de la rigueur à l’imagination, et de l’imagination à la rigueur, il y a… les questions

Quand on est bloqué, qu’on ne voit pas, on peut lancer la machine à associations d’idées en se posant les questions :

  • Quelle est la définition de ce mot ?
  • À quoi est-ce que ça me fait penser ?
  • Et si je pouvais faire comme je veux, comment je ferais ? (question réservée au brouillon !)

Inversement, quand on a plein d’idées, et qu’on arrive au moment de les mettre en formes, ces quelques questions peuvent aider à structurer  les idées encore éparpillées.

  • Pourquoi est-ce que je peux écrire cela ?
  • Est-ce vrai ?
  • De quoi ai-je besoin pour utiliser cette idée, propriété… ?

A cette étape, toutes les réponses à tous les « pourquoi » doivent être sur la copie, sinon on peut reprendre la phase « intuition » pour trouver les chaînons manquants.

Conclusion

Entre rigueur et intuition, il n’y a pas à choisir. Les deux sont un précieux atout pour l’étude des mathématiques et l’idéal pour se faire de la mathématique une alliée plutôt qu’un obstacle est de cultiver les deux attitudes, surtout si l’on se connaît une dominante.

 

 

Méthodologie en mathématiques : les questions clé

Les mathématiques sont un jeu (auquel on aime jouer ou pas mais ceci est une autre question…).

Pour y jouer, il faut savoir avec quoi on joue. Ici, ce sont des nombres, théorèmes, objets géométriques… Pour connaître ce qui se cache derrière ces mots, la question est « qu’est-ce que ça veut dire ? ». Ensuite, il y a des règles du jeux à respecter faute de quoi on a une pénalité. La règle de base est : Toutes les réponses à tous les « pourquoi ? » que l’on peut se poser doit figurer soit dans l’énoncé, soit dans le cours. Enfin, pour gagner (répondre complètement à la question en ayant respecté les règles du jeu), il vaut mieux avoir une stratégie. Au delà des techniques particulières, une stratégie porteuse de la 6ème à la prépa (et même après) repose sur la question : « À quoi est-ce que ça me fait penser ? »

Les mathématiques sont la seule science
où on ne sait pas de quoi on parle
ni si ce qu’on dit est vrai.
(Bertrand Russell)

Qu’est-ce que ça veut dire ?

Pour répondre à une question, il faut d’abord bien la comprendre. Cela veut dire repérer les mots importants et avoir une idée claire du sens de chacun de ces mots. Il ne s’agit pas seulement de connaître par cœur la définition (voir article « apprendre les mathématiques » bientôt sur ce site)

À quoi est-ce que ça me fait penser ?

Mentalement ou au brouillon, on dresse une liste d’idées (propriétés, théorèmes ou exercices type) associées aux mots clé et/ou à la figure, en séparant données de départ  (qui comprennent les réponses déjà trouvées) et conclusion. Le but est de trouver une suite d’associations d’idées qui permette de cheminer des données à la conclusion.

Par exemple :

à quoi est-ce que ça me fait penser ?

à quoi est-ce que ça me fait penser ?

 

(d’autres exemples plus concrets, par classe, bientôt sur ce site)

Sur le schéma ci-dessus, plusieurs idées ne sont pas utilisées. Il est tout de même important d’y penser car dans un autre contexte, ce sont peut-être celles-ci qui permettent de résoudre l’exercice.

Plus on le fait souvent, plus on le fait vite, et moins on a besoin de le faire car on « trouve » tout de suite la méthode. Pour s’entraîner, je conseille la méthode des cartes heuristiques (un article bientôt sur ce site), formidable outil d’apprentissage.

À cette étape, on est dans l’imaginaire. Toutes les idées sont bonnes à prendre en considération. Quand on a trouvé un enchaînement entre les données et la conclusion, on peut passer à l’étape suivante.

Pourquoi ?

Vous avez toutes les bonnes étapes, il ne reste plus qu’à les mettre en forme dans le bon ordre, en respectant LA règle du jeu : Toutes les réponses à tous les « pourquois » sont dans le cours, dans les données ou sur la copie. Tout contrevenant fera l’objet d’un commentaire du genre : « Pourquoi peut-on écrire cela? », « Expliquez ? », « Détaillez ? », « Justifiez ? », « Explicitez »… (voir dictionnaire des synonymes)

En fait, on utilise uniquement les données de l’énoncé, les résultats des questions précédentes, et le cours. Toute autre information, même évidente, doit être accompagné de l’explication du « pourquoi » on peut l’utiliser si elle n’est pas dans l’énoncé (cette règle peut avoir quelques exceptions après le bac pour les raisonnements simples).

En pratique, on peut se poser la question du « pourquoi » dès l’étape précédente, avant de commencer à rédiger, et cela permet de compléter les étapes du raisonnement.

Des questions à se poser le plus souvent possible en classe.

Les questions qui précèdent sont utiles pour aborder un exercice ou un problème. Toutefois, elles sont d’autant plus utiles qu’on a pris l’habitude de se les poser avant de se retrouver face à cet exercice. Par exemple, la question « à quoi est-ce que ça me fait penser ? » ne portera tous ses fruits que si, sur un exercice que l’on avait pas trouvé seul, on s’est posé les questions : « comment est-ce que j’aurais pu trouver tout seul ? », « quel est le mot que je ne connaissais pas bien ? », « à quelle méthode/propriété/théorème est-ce que ce mot aurait pu me faire penser ? », « Pourquoi telle ou telle phrase de la rédaction est-elle importante (ou pas) ? »…

Pour les élèves qui envisagent des études universitaires, en particulier scientifiques ou en classes prépa, cultiver ce reflexe leur apportera une profondeur de réflexion qui leur sera d’une grande aide au fil de ces études.

Conclusion

Ces questions ne résolvent pas tout à elles seules. Elles ne délivrent leurs réponses que si on choisit de cultiver l’habitude de se les poser, en particulier en classe et pendant que l’on revoit le travail fait en classe. Et si on ne trouve pas la réponse tout seul, on doit demander au professeur à la fin du cours ou au cours suivant.

En résumé, il faut :

  • bien connaître le cours (définitions, propriétés, théorèmes et méthodes)
  • bien comprendre l’énoncé et ses mots-clé
  • faire, mentalement ou au brouillon, une liste des associations d’idées que l’on peut faire entre les mots clé et les méthodes et théorèmes vus en cours.
  • prendre l’habitude de se poser la question « Pourquoi ce qui est écrit ici est vrai ? »