Méthodologie en mathématiques : les questions clé
Les mathématiques sont la seule science
où on ne sait pas de quoi on parle
ni si ce qu’on dit est vrai.
(Bertrand Russell)
Les mathématiques sont un jeu (auquel on aime jouer ou pas mais ceci est une autre question…).
Pour y jouer, il faut savoir avec quoi on joue. Ici, ce sont des nombres, théorèmes, objets géométriques… Pour connaitre ce qui se cache derrière ces mots, la question est « qu’est-ce que ça veut dire ? ». Ensuite, il y a des règles du jeux à respecter faute de quoi on a une pénalité. La règle de base est : Toutes les réponses à tous les « pourquoi ? » que l’on peut se poser doit figurer soit dans l’énoncé, soit dans le cours. Enfin, pour gagner (répondre complètement à la question en ayant respecté les règles du jeu), il vaut mieux avoir une stratégie. Au delà des techniques particulières, une stratégie porteuse de la 6ème à la prépa (et même après) repose sur la question : « À quoi est-ce que ça me fait penser ? »
Qu’est-ce que ça veut dire ?
Pour répondre à une question, il faut d’abord bien la comprendre. Cela veut dire repérer les mots importants et avoir une idée claire du sens de chacun de ces mots. Il ne s’agit pas seulement de connaître par cœur la définition (voir article « apprendre les mathématiques » bientôt sur ce site)
À quoi est-ce que ça me fait penser ?
Mentalement ou au brouillon, on dresse une liste d’idées (propriétés, théorèmes ou exercices type) associées aux mots clé et/ou à la figure, en séparant données de départ (qui comprennent les réponses déjà trouvées) et conclusion. Le but est de trouver une suite d’associations d’idées qui permette de cheminer des données à la conclusion.
Par exemple :
à quoi est-ce que ça me fait penser ?
(d’autres exemples plus concrets, par classe, bientôt sur ce site)
Sur le schéma ci-dessus, plusieurs idées ne sont pas utilisées. Il est tout de même important d’y penser car dans un autre contexte, ce sont peut-être celles-ci qui permettent de résoudre l’exercice.
Plus on le fait souvent, plus on le fait vite, et moins on a besoin de le faire car on « trouve » tout de suite la méthode. Pour s’entraîner, je conseille la méthode des cartes heuristiques (un article bientôt sur ce site), formidable outil d’apprentissage.
À cette étape, on est dans l’imaginaire. Toutes les idées sont bonnes à prendre en considération. Quand on a trouvé un enchaînement entre les données et la conclusion, on peut passer à l’étape suivante.
Pourquoi ?
Vous avez toutes les bonnes étapes, il ne reste plus qu’à les mettre en forme dans le bon ordre, en respectant LA règle du jeu : Toutes les réponses à tous les « pourquois » sont dans le cours, dans les données ou sur la copie. Tout contrevenant fera l’objet d’un commentaire du genre : « Pourquoi peut-on écrire cela? », « Expliquez ? », « Détaillez ? », « Justifiez ? », « Explicitez »… (voir dictionnaire des synonymes)
En fait, on utilise uniquement les données de l’énoncé, les résultats des questions précédentes, et le cours. Toute autre information, même évidente, doit être accompagné de l’explication du « pourquoi » on peut l’utiliser si elle n’est pas dans l’énoncé (cette règle peut avoir quelques exceptions après le bac pour les raisonnements simples).
En pratique, on peut se poser la question du « pourquoi » dès l’étape précédente, avant de commencer à rédiger, et cela permet de compléter les étapes du raisonnement.
Des questions à se poser le plus souvent possible en classe.
Les questions qui précèdent sont utiles pour aborder un exercice ou un problème. Toutefois, elles sont d’autant plus utiles qu’on a pris l’habitude de se les poser avant de se retrouver face à cet exercice. Par exemple, la question « à quoi est-ce que ça me fait penser ? » ne portera tous ses fruits que si, sur un exercice que l’on avait pas trouvé seul, on s’est posé les questions : « comment est-ce que j’aurais pu trouver tout seul ? », « quel est le mot que je ne connaissais pas bien ? », « à quelle méthode/propriété/théorème est-ce que ce mot aurait pu me faire penser ? », « Pourquoi telle ou telle phrase de la rédaction est-elle importante (ou pas) ? »…
Pour les élèves qui envisagent des études universitaires, en particulier scientifiques ou en classes prépa, cultiver ce reflexe leur apportera une profondeur de réflexion qui leur sera d’une grande aide au fil de ces études.
Conclusion
Ces questions ne résolvent pas tout à elles seules. Elles ne délivrent leurs réponses que si on choisit de cultiver l’habitude de se les poser, en particulier en classe et pendant que l’on revoit le travail fait en classe. Et si on ne trouve pas la réponse tout seul, on doit demander au professeur à la fin du cours ou au cours suivant.
En résumé, il faut :
- bien connaître le cours (définitions, propriétés, théorèmes et méthodes)
- bien comprendre l’énoncé et ses mots-clé
- faire, mentalement ou au brouillon, une liste des associations d’idées que l’on peut faire entre les mots clé et les méthodes et théorèmes vus en cours.
- prendre l’habitude de se poser la question « Pourquoi ce qui est écrit ici est vrai ? »
Apprendre les mathématiques
Je rencontre souvent des élèves qui travaillent, parfois beaucoup, qui connaissent tout par cœur… et dont les notes ne récompensent pas le travail fourni. Et certainement, il ne manque pas grand chose pour concrétiser les efforts ! Il y a des méthodes de maths, mais surtout des méthodes pour réviser, pour travailler les maths.
Alors, avant de ranger les maths dans la case « c’est pas mon truc », je vous invite à lire la suite…
Mathématiques, langue étrange ?
Les mathématiques, c’est un peu comme pour les langues étrangères, vous pouvez apprendre par cœur des listes de vocabulaires, si vous ne les utilisez pas, ou si vous ne n’imaginez pas de situations où vous utilisez concrêtement ces mots, vous les oublierez bien vite… Et même si vous avez une bonne mémoire, vous ne penserez pas nécessairement au mot adéquat au moment précis ou vous en avez besoin s’il ne vous a jamais servi auparavant. Pour apprendre un mot, il faut l’utiliser, s’imaginer en train de le dire dans tel ou tel contexte. L’idéal même serait d’y associer une image, un souvenir, un son, un film… bref de la vie et du sens (aussi au sens de « sensation ») sinon il reste inaccessible.
Les maths, ça ne s’apprend pas, ça se pratique
Pour les mathématiques, c’est exactement la même chose. Apprendre par cœur les définitions, les propriétés, les théorèmes, des exercices type… ne suffit pas !
alors, comment apprendre ? Comment rendre vivante cette langue étrange ?
Il ne s’agit pas de travailler plus pour gagner plus mais de travailler différemment (et peut-être moins !)
Les fiches
Une méthode efficace pour comprendre et retenir consiste à varier les supports (dessins, phrases image, phrase prononcée, reformulée, objets…) et à relier les idées entre elles. On peut faire des résumés de cours, avec les définitions, les propriétés, théorèmes… la plupart des élèves ont testé cela.
En plus, on peut faire des fiches de liens, faire pour chaque mot clé un schéma de tout ce qui y est relié.
Voici par exemple une fiche sur le parallélogramme que l’on peut faire en 5ème et que l’on peut compléter en Seconde avec les translations et vecteurs.
- exemple de fiche de 5ème sur le parallélogramme (cliquez pour agrandir)
Ce genre de fiche permet, d’une part un support synthétique qui facilite la mémorisation et d’autre part est, en soi un outil méthodologique pour résoudre un problème.
Par exemple, si un exercice parle de parallélogramme, on aura en tête les mots : parallèles, longueur, angles, milieu… qui pourront servir à prouver d’autres choses.
Inversement, si le but d’un exercice est de prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on a tout de suite en tête les moyens pour y parvenir.
Pas besoin d’outils informatiques compliqués pour le faire : quelques crayons de couleur suffisent
Idéalement, on peut faire une fiche sur chaque mot clé (la fiche « parallélogramme » ne sera pas la même que la fiche « parallèles »). En les ayant toutes en tête on arrive immanquablement au résultat.
Résoudre les problèmes, mathématiques ou autres, est avant tout un art de se poser les bonnes questions (voir article « les questions clé » . Ensuite, les réponses viennent si on a les idées claires, c’est à dire si on a clairement en tête le champ des idées que l’on peut associer aux mots clé de ces questions.
Conseil :
Il est important de les faire soi-même et ensuite demander au professeur si c’est juste et s’il manque des choses importantes.
Revoir les exercices
En regardant un film ou un spectacle, on peut se laisser embarquer par l’éloquence et le « naturel » d’un acteur. Pour autant, on ne sera pas nécessairement plus éloquent, ou capable de reprendre ses intonations après la séance.
Développer une compétence nécessite d’imiter dans un premier temps. Un apprenti acteur s’entraîne à bouger « à la façon de », parler « à la façon de »… ce qui modifie son regard sur les autres acteurs, confirmés ou non. Il perçoit de plus en plus clairement leur façon de faire, ce qui lui donne de nouvelles idées. Mais pour celà, il faut faire, par soi même. Regarder des films ne fait pas un acteur. De même lire des livres ne suffit pas à faire un écrivain.
Hé bien, regarder des mathématiques ne fait pas (beaucoup) progresser en mathématiques ! (c’est vrai aussi pour les autres matières)
Travailler les mathématiques, c’est
- refaire les exercices sans regarder le corrigé fait en classe
- si on n’y arrive pas, on peut se poser toutes les questions clé
- ensuite seulement, on regarde le corrigé, et si il y a des différences, il faut absolument se demander
- si ce que l’on a fait est juste (il y a souvent plusieurs méthodes possibles) et prendre le temps d’observer la méthode vue en classe, ses étapes…
- si c’est suffisant. Si on a oublié des phrases, des étapes, il faut se demander pourquoi ce qu’il y a en plus dans le corrigé est important.
- Si on a écrit plus de choses que dans l’énoncé, était-ce nécessaire ? Pourquoi est-ce que ce qu’il y a dans le corrigé suffit pour répondre.
J’espère que ces quelques idées pourront aider quelques personnes à optimiser leur manière de travailler les mathématiques. Si c’est le cas, n’hésitez pas à me laisser un mot sur le livre d’or, si ce n’est pas le cas, je suis ouvert à toutes les remarques qui me permettraient de rendre cet article plus complet et/ou plus pratique. Merci d’avance !
Des cours particuliers en prépa ?
| 16 juin 2011 | prépa |
Avant de décider de faire des cours particuliers mon activité principale, je ne savais pas qu’autant d’élèves de prépa prenaient des cours particuliers. L’élève de ECE pour qui les probabilités sont devenues ésotériques, l’élève de PSI* qui veut intégrer Supélec, l’élève de Louis le Grand qui veut repasser dans le premier quart du classement, le… (lire la suite…)
Rigueur et intuition, les deux faces des mathématiques
| 24 mai 2011 | Collège, Lycée |
On connaît souvent le côté « froid » des mathématiques, leur « exactitude ». Ce que l’on sait moins, c’est qu’il y a autant de façons de faire des mathématiques que d’apprentis matheux ! Ce qui se passe dans la tête de quelqu’un qui fait des mathématiques reste un grand mystère, qui ne suit pas de règles. D’ailleurs, les… (lire la suite…)
