Catégorie : prépa

Des « égal » plus égaux que d’autres

coluche
Les hommes naissent libres et égaux,
mais certains sont plus égaux que d’autres
(Coluche)

 

L’égalité mathématique désigne la relation entre deux objets qui seraient parfaitement équivalents, substituables l’un à l’autre. On la représente par le signe $=$.

Toutefois, ce symbole est utilisé dans des contextes bien différents, et ce sans que la différence sémantique ne soit discutée en classe, (pour ce que je peux constater auprès de mes élèves).

Je vous propose d’explorer ces différentes facettes du $=$, à savoir :

  • l’identité (que l’on utilise dans les calculs)
  • la définition (attribution d’une valeur à une lettre par exemple)
  • la proposition (égal des équations)

Notamment en voyant comment les notions sous-jacentes sont traitées en informatique.

Le égal égal

Quand on fait un calcul, disons $2 + 3 =5$ pour rester simples, le égal ici nous dit que le nombre obtenu en ajoutant $2$ et $3$ et le nombre $5$ sont une seule et même chose. On pourrait remplacer l’un par l’autre. Toutefois on écrit rarement $5 = 3 + 2$ et pour les élèves, ce $=$ veut dire « donne », c’est comme la touche de la calculatrice qui donne le résultat, ce qui amène des erreurs d’écriture dont je ne parlerai pas ici.

C’est pourtant bien le même $=$ que celui que l’on utilise en 5è, on apprend à développer, factoriser,  et les formules que l’on apprend sont des identités.

$k.(a+b)=k.a+k.b$ pour tous les nombres $k$, $a$, $b$. On appelle ce genre de relation identité car on peut substituer l’une à l’autre écriture en fonction de ce que l’on souhaite faire. C’est égal, identique. C’est également toujours vrai, personne ne saurait trouver de nombres $k$, $a$, et $b$ pour lesquels cela ne fonctionnerait pas.

De plus, le symbole ici est parfaitement adapté car on passe de l’un à l’autre de gauche à droite ou de droite à gauche, ce que suggère la symétrie du symbole.

Le égal d’attribution.

On voit aussi parfois des exercices comme :

On pose $A = 2n^2 + 3n-2$ où $n$ est un entier positif. Calculer $A$ quand $n=2$ puis quand $n=10$

Ici, $A$ et $n$ ne sont pas n’importe quel nombre. Ils sont liés. Si on choisissait $A$ et $n$ au hasard, il y a toutes les chances pour que l’égalité ne soit plus vraie. C’est déjà une grande nuance par rapport à tout à l’heure. De même $n$ n’est pas toujours égal à $2$. La preuve, dans la question suivante, $n$ vaut $10$. Il faudrait savoir !

En fait ici,  $=$ dans cet exercice sert à définir, à donner une valeur à $n$. La lettre $A$ représente une expression qui dépend de $n$, que l’on appelle $A$ pour pouvoir la désigner de manière concise. Pour chaque valeur de $n$, le calcul $2n + 3n-2$ donne un résultat différent. $n$ est une variable et $A$ une expression dont la valeur dépend de $n$.

Quand on impose une valeur à $n$, on devrait écrire $n:=2$, $n←2$ ou $2→n$ comme on le fait en informatique. De nombreux ouvrages universitaires récents (Warusfel, RMS,…) font d’ores et déjà usage de ce $:=$ dont je ne serais pas surpris qu’il devienne la norme en Mathématiques également. Ce qu’il faut retenir ici c’est qu’il y a un sens. $1+1=2$ dans les deux sens mais si on peut poser comme convention que $n$ prend la valeur $2$, ce qui nous autorise à remplacer $n$ par $2$ pour mener le calcul, cela n’aurait pas beaucoup de sens de se dire : « Tiens, je vais remplacer les nombres $2$ par la lettre $n$. » L’écriture $2$ se suffit à elle même.

Les égals pas égaux…

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Pour finir cet aperçu des différentes utilisations du symbole $=$ nous allons parler des équations. Une équation consiste en deux expressions littérales liées par un signe égal. On cherche la ou les valeurs des inconnues de l’équation.

Il me semble important de bien comprendre que ces deux expressions ne sont pas égales a priori mais qu’on aimerait savoir si elles le sont au moins pour quelques valeurs de $x$, ou $y$ ou quelle que soit la (les) lettres qu’on ait choisi pour désigner la (les) inconnue(s).

Par exemple, considérons l’équation $2x+3=x+8$, d’inconnue $x$. Si vous choisissez une valeur pour $x$ et faites les calculs de part et d’autre du signe =, vous trouverez (sauf coup de chance) des choses différentes. En tâtonnant, vous finirez par trouver une valeur qui convient, qu’on appelle solution.

On peut aussi « résoudre » l’équation écrivant une suite d’équations équivalentes. Pour cela, regardons d’abord ce que signifie ce signe $=$.

Dans une équation, le $=$ est une relation logique qui, pour un nombre $x$ fixé peut être soit vraie ou fausse. Quand on résout une équation, on enchaîne les propositions qui vont être « vraies » ou « fausses » pour les mêmes valeurs de l’inconnue. Reprenons notre exemple précédent. On écrira :

« Les équations suivantes sont équivalentes :

$2x+3=x+8$
$2x-x=8-3$
$x=5$

L’unique solution de l’équation est $5$. »

Notons ici que la troisième ligne : $x=5$ est aussi une équation. Nous ne sommes pas, comme précédemment, en train de définir $x:=5$. Nous disons ici que la relation « $2x+3=x+8$ » est vraie si et seulement si la relation « $x=5$ » est vraie. La seule valeur de $x$ qui rende vraie cette dernière relation est évidemment $5$ ! En résolvant une équation, on peut être amené à écrire des choses hérissantes comme $0=1$ ! L’équation qui va suivre est digne de considération :

$x^{2}-3x+x(x+1)=(2x+1)(x-3)+3x$

En développant dans chaque membre on obtient l’équation équivalente :
$x^{2}-3x+x^{2}+x=2x^{2}-6x+x-3+3x$ puis en réduisant
$2x^{2}-2x=2x^{2}-2x-3$

enfin $0=3$

En général, à ce moment précis, un vertige s’empare de l’élève qui s’empresse d’ajouter « IMPOSSIBLE ! l’équation n’a pas de solution. » Ouf.

Mais on peut tout à fait écrire $0=3$ dans car il ne s’agit pas d’une égalité mais d’une relation, qui peut être vraie ou fausse selon les valeurs de $x$. En l’occurrence ici, on ne saurait trouver de valeur de $x$ qui rende vraie l’égalité donc l’équation n’a pas de solution !

En informatique, on utilise souvent le double égal == pour tester une égalité. Quand on écrit par exemple :

if n^2-3n==2k+1 then <commandes>

L’ordinateur teste si les nombres obtenus en calculant $n^{2}-3n$ et $2k+1$ (avec les valeurs de $k$ et $n$ qu’il a en mémoire à ce moment là) sont égales ou non. Si oui, il renvoie la valeur 1 (VRAI), sinon, il renvoie la valeur 0 (FAUX) Cette notation est symétrique à juste titre et me fait penser au $=$ des équations qui représente plus un « souhait » d’égalité qu’une égalité réelle.

Une question de contexte

Une même expression mathématique prendra donc un sens tout à fait différent selon le contexte dans laquelle elle est écrite.

Par exemple, si on écrit $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ tout seul, cela n’a pas vraiment de sens car on ne sait pas s’il s’agit d’une équation ou d’une identité.

En écrivant : « Pour tout nombre $x$, on a $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ », on a une identité, c’est à dire une vraie égalité.

Si on ne précise pas « pour tout nombre $x$ », on ne peut pas le savoir et on pourrait considérer l’expression comme une équation. Puisqu’ici la relation est toujours vraie, pour tout $x$, on pourrait alors dire : « Tout nombre $x$ est solution de l’équation !

On est souvent amené à mêler les deux. Dans les exemples d’équations précédents, j’ai développé des expressions, c’est à dire j’ai remplacé une expression par une autre identique, égale pour tout $x$ afin d’obtenir une nouvelle équation équivalente.

Égal ou pas

On rencontre en mathématiques des exercices où l’on doit tester une égalité. Nous allons discuter de trois cas que l’on rencontre au collège :

  • tester si un nombre est solution d’une équation donnée
  • déterminer si un triangle est rectangle ou non avec la réciproque ou la contraposée du théorème du Pythagore
  • déterminer si deux droites sont parallèles ou non avec la contraposée ou la réciproque du théorème de Thalès.

Ces trois cas relèvent en fait d’une même logique où l’on teste une égalité. Dans ce cas, on ne sait pas au départ si l’égalité est vérifiée ou pas. La méthode est donc la même : on calcule séparément chaque membre de l’égalité, ce qui nous permet de savoir si c’est égal ou non et d’en conclure quelque-chose.

Par exemple : 3 est-il solution de l’équation $2x-3=5x+2$ ?

Pour $x=3$ nous avons
d’une part $2x-3=2×3-3=6-3=3$
et d’autre part $5x+2=5×3+2=15+2=17$

Nous voyons ainsi que, pour $x=3$, $2x-3\neq 5x+2$ et $3$ n’est donc pas solution de l’équation.

De même, pour le théorème de Pythagore, on calcule séparément les termes afin de savoir si la relation est vérifiée ou non. Par exemple, si un triangle $ABC$ a pour dimensions $AB=8$, $BC=6$ et $AC=10$. Est-il rectangle ?

D’une part, $AC^{2} = 10^{2} = 100$
D’autre part, $AB^{2} + BC^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100$

On constate que $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Dans ce cas, comme pour l’équation, il s’agit de savoir si la relation est vérifiée ou non, si l’égalité est vraie ou non.

AVERTISSEMENT : Je déconseille la lecture de ce qui suit aux personnes qui préfèrent les méthodes éprouvées et les invite à passer à la conclusion. À ceux qui souhaitent voir d’autres aspects de la logique, j’aimerais montrer que, moyennant quelques ajustements, la rédaction honnie (à juste titre) par tous les profs de maths peut être parfaitement valide…  si l’on joue sur les différents sens du signe $=$. Nous allons écrire des propositions équivalentes, en nous concentrant uniquement sur le caractère vrai ou faux de celles-ci.

Par exemple, pour $x=3$, les relations suivantes sont équivalentes :

$2x-3=5x+2$
$2×3-3=5×3+2$
$6-3=15+2$
$3=17$

La dernière relation est fausse donc la première l’est aussi pour $x=3$ ce qui prouve que $3$ n’est pas solution de l’équation.

Il est, je le rappelle, interdit de rédiger comme cela sauf si chaque $=$ représente non pas une égalité mais une relation qui peut être vraie ou fausse. Cela doit apparaître très clairement. Si vous êtes élève en collège ou lycée, je ne peux que vous recommander de rédiger comme vos enseignants vous l’ont appris plutôt que comme ci-dessus.

En conclusion

Il est bon de connaître cette polysémie du symbole $=$ car cela peut nous éviter certaines erreurs de logique. Disons pour résumer que l’on peut toujours remplacer une expression, un nombre, par un autre qui lui est « identique », égal dans tous les cas afin d’avancer dans le raisonnement. Enfin, notamment dans le supérieur (mais en fait dès l’introduction des équations en classe de 5ème) on manipule des $=$ qui représentent des relations, vraies ou fausses dans des raisonnements logiques.

Variations autour de la « Variation de la Constante »

Prérequis : Équations différentielles linéaires du premier ordre, variation de la constante.

Une constante qui varie… quelle drôle d’idée pourtant centrale dans la théorie des équations différentielles. Nous allons partir de la preuve de cette méthode pour montrer que l’on peut s’en passer, que c’est même plus simple et peut inspirer des changements de fonction inconnue élégants.

Se passer de variation de la constante :

On considère une équation différentielle de la forme standardisée $ y’+a.y=b $ où $a$ et $b$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$.

En tant que fonction continue, $a$ admet une primitive $A$ sur $I$. On définit une nouvelle fonction inconnue$z$ définie sur $I$ par $z : x \mapsto e^{A(x)}y(x)$. $z$ est dérivable comme composée de fonctions dérivables et $\forall x \in I \text{, } z'(x)=e^{A(x)}(y'(x)+a(x)y(x))$. D’où $z'(x)=e^{A(x)}b(x)$

Ainsi $z$ peut s’écrire pour tout $x\in I$, $z(x)=F(x)+\lambda$ où $\lambda \in \mathbb{R}$ et $F$ est une primitive de $x\mapsto e^{A(x)}b(x)$ (qui existe car $b$ est continue)

Les solutions de l’équations sont $\{x\mapsto F(x)e^{-A(x)}+\lambda e^{-A(x)} / \lambda \in \mathbb{R}\}$

So what ?

Le lecteur reconnaîtra peut-être dans ce qui précède une adaptation de la preuve que la méthode de la variation de la constante fonctionne, mais rédiger ainsi présente deux avantages :

  • On peut résoudre une équation différentielle en une étape (en fait deux puisque pour bien faire, on rédigera en analyse/synthèse), sans distinguer d’équation homogène ou de solution particulière comme le montrent l’exemple à suivre. La rédaction s’en trouve généralement allégée.
  • En pratiquant cette variante, on développera une « intuition » pour des changements de fonction inconnue astucieux et qui adouciront la résolution de quelques équations différentielles plus corsées… (voir les paragraphes suivants.

Un exemple :

Par exemple, on considère l’équation différentielle

$(E)$ $y’+xy=x $ sur $\mathbb{R}$

Soit $f$ une solution de $(E)$. La fonction $z:x\mapsto e^{\frac{x^{2}}{2}}f(x)$ vérifie $$z'(x)=x.e^{\frac{x^{2}}{2}}f(x)+e^{\frac{x^{2}}{2}}f'(x)\\z'(x)=(f'(x)+xf(x))e^{\frac{x^{2}}{2}}\\z'(x)= x e^{\frac{x^{2}}{2}} \text{ car f est solution de (E)}\\z'(x)=xe^{\frac{x^{2}}{2}}$$

En intégrant, on trouve

$$\exists \lambda \in \mathbb{R} \text{, }z(x)=e^{\frac{x^{2}}{2}}+\lambda f(x)e^{\frac{x^{2}}{2}}=e^{\frac{x^{2}}{2}}+\lambda\\f(x)=1+\lambda e^{-\frac{x^{2}}{2}}$$

Réciproquement, on vérifie aisément que pour tout réel $\lambda$, une telle fonction $f$ est solution de (E)

Ainsi l’ensemble des solutions est $\{x \mapsto 1+\lambda e^{-x^{2}} / \lambda \in \mathbb{R}\}$

Le meilleur pour la fin

Solutions d’un système différentiel de type Volterra-Lottka

Vous aurez constaté qu’en cherchant à déterminer  la solution générale d’une ÉDL du premier ordre, on « tombe » souvent sur une forme $e^{\alpha \ln(…)}$ simplifiable. Si ça vous arrive, c’est que vous auriez pu utiliser l’astuce suivante.

L’idée est que si on réalise un changement de fonction inconnue avec $z=u.y$ où $u$ est une fonction suffisamment régulière pour que $z$ soit dérivable. Alors $z’ = u’y + uy’$. Vous remarquerez que de nombreux exercices se ramènent à $u’y + uy’=b(x)$, c-à-d à $z’=b$, un simple calcul de primitive !

Vous trouverez sur ce site de nombreux exemples intéressants et corrigés. Voici quelques morceaux choisis corrigés à ma manière.

$(x^2  + 1)y’ + 2xy + 1 = 0$

On reconnaît ici une équation différentielle du type $uy’+u’y=-1$ avec $u:x\mapsto x²+1$

Soit $f$ une solution de l’équation différentielle sur un intervalle $I$

Posons $g:x\mapsto (x²+1)f(x)$. g est dérivable comme produit de fonctions dérivables et $g'(x)=-1$ car $f$ est solution de l’équation initiale.

D’où l’existance d’un réel $\lambda$ tel que $g(x)=-x+\lambda$ sur $I$

Ainsi $(x²+1)f(x)=-x+\lambda$ puis $f(x)=\frac{-x}{x²+1}+\frac{\lambda}{x^2+1}$ car $(x²+1)\neq 0$

Réciproquement, toute fonction de cette forme est solution. Ainsi $S=\{x\mapsto \frac{-x}{x²+1}+\frac{\lambda}{x^2+1} / \lambda \in \mathbb{R}\}$

$x(1 + \ln ^2 (x))y’ + 2\ln (x)y = 1$ sur $\mathbb{R}^{ + \star } $

Ici, on retrouvera la forme en $uy’+u’y$ moyennant une petite modification. En effet, si on cherche une telle forme, on ne manquera pas de remarquer la correspondance entre $1 + \ln ^2 (x)$ et $2\ln (x)$ qui est « presque » sa dérivée.

Sur $\mathbb{R}^{ + \star } $ , on peut diviser par $x$ pour obtenir l’équation équivalente $(1 + \ln ^2 (x))y’ + 2\frac{1}{x}\ln (x)y = \frac{1}{x}$. On reconnaît une forme $uy’+u’y=b$

Pour toute fonction $y:\mathbb{R}^{ + \star }\to\mathbb{R}$ dérivable, on pose $z:\mathbb{R}^{ + \star }\to\mathbb{R}$ définie par $\forall x\in \mathbb{R}^{ + \star }\text{, }z(x)=(1 + \ln ^2 (x))y(x)$

$z$ est bien définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{ + \star }$ et on a $z'(x)=(1 + \ln ^2 (x))y'(x) + 2\frac{1}{x}\ln (x)y(x)$

Ainsi $y$ est solution de $(E)$ ssi $z$ est solution de $(E’)$ $z’=\frac{1}{x}$ dont la solution générale est $z(x)=\ln(x) + \lambda$ $(\lambda\in\mathbb{R})$.

D’où les solutions de $(E)$ : $S=\{x\mapsto \frac{\ln(x)}{1+\ln²(x)}\ + \frac{\lambda}{1+\ln²(x)} / \lambda\in\mathbb{R}\}$

Une résolution de l’équation homogène associée puis l’utilisation de la variation de la constante vous amènera bien évidemment au même point mais avouez que ce chemin ci est tout de même bien plus court et plus simple (une fois repéré le changement de variable).

Les équations de la forme
$uy’+nu’y=b(x)$ $(n\in\mathbb{Z}^{\star})$

On cherche à résoudre l’équation sur un intervalle où $u$ ne s’annule pas. L’équation est alors équivalente, en multipliant par $u^{n-1}$ à :

$$u^ny’+nu’u^{n-1}=b.u^{n-1}\\(u^ny)’=b.u^{n-1}$$

Un changement de fonction inconnue, une primitive avec sa constante d’intégration et c’est fini.

Un dernier exemple illustratif : $(1+e^{x})y’-2e^{x}y=e^{x}$ sur $\mathbb{R}$

On reconnaît $u$ et $u’$, et il y a ce « $-2$ ». En multipliant les deux membres par la quantité non nulle et bien définie sur $\mathbb{R}$ $(1+e^{x})^{-3}$ on obtient l’équation différentielle équivalente : $(1+e^{x})^{-2}y’-2e^{x}(1+e^{x})^{-3}y=e^{x}(1+e^{x})^{-3}$

le changement de fonction inconnue $z=(1+e^{x})^{-3}y$ nous ramène en rédigeant vite à $z’=e^{x}(1+e^{x})^{-3}$ donc $z(x)=\frac{-1}{2}(1+e^{x})^{-2} + \lambda$ $(\lambda\in\mathbb{R})$

d’où les solutions de l’équation de départ : $$S=\{x\mapsto\frac{-1}{2}(1+e^{x}) + \lambda(1+e^{x})^3 / \lambda\in\mathbb{R}\}$$

En conclusion

J’espère que ces quelques astuces vous auront intéressé et je vous invite à reprendre vos feuilles d’exercices ou vos livres préférés dans lesquels vous constaterez que ces astuces s’appliquent à une part non négligeable d’exemples.

Sans faire de fixation sur le procédé, passer quelques secondes à chercher un $u$ et $u’$ qui pourraient convenir ne vous coûte pas grand chose et peut vous rapporter gros.

 

Des cours particuliers en prépa ?

Avant de décider de faire des cours particuliers mon activité principale, je ne savais pas qu’autant d’élèves de prépa prenaient des cours particuliers. L’élève de ECE pour qui les probabilités sont devenues ésotériques, l’élève de PSI* qui veut intégrer Supélec, l’élève de Louis le Grand qui veut repasser dans le premier quart du classement, le MPSI qui n’est pas sûr de passer en spé…

Les motivations sont diverses.

La prépa, c’est … une autre histoire

Les exigences mathématiques en prépa sont « assez » différentes de celles de Terminale. Pour résumer ces différences, disons que le rythme d’acquisition des connaissances est plus, voire « vraiment plus » soutenu, et la diversité des sujets fait que le bachotage ne suffit généralement pas à couvrir l’étendue de ce qui peut être demandé en évaluation. La prépa demande de la profondeur.

Fini les exercices stéréotypés. Pour suivre, il faut comprendre vite, et bien. Il faut aussi savoir adapter les connaissances à des contextes variés, trouver soi même les étapes de raisonnements…

Il y a donc plusieurs points où une aide peut être utile :

  • explicitation des notions, démonstrations, théorèmes…
  • aide méthodologique pour le travail personnel au long de l’année
  • aide méthoologique pour la résolution de sujets au long de l’année ou pour préparer les concours.

Ne pas perdre le fil

Surtout, quelle que soit la filière, il ne faut pas attendre d’être perdu pour demander un coup de pouce. Il n’y a rien d’alarmant à ne pas tout comprendre sur le vif en classe. Mais si une semaine après ça reste du chinois… mieux vaut réagir car tout se tient et d’autres chapitres viendront se construire sur ces bases. Plus elles sont solides, mieux ce sera.

Grandes ambitions

Quelles que soient les écoles auxquelles vous aspirez, c’est votre rigueur et votre intuition qui vous permettront d’améliorer votre classement grâce aux mathématiques. Or, ça se travaille ! Pour la rigueur, il faut avoir bien compris le cours, ses tenants et aboutissants. Quant à l’intuition, on la nourrit par notre manière d’apprendre et travailler (méthodologie) ou en observant in situ les questions qu’on peut se poser sur un sujet de concours pour le démêler.

Ce que je propose :

Terminale

Pour les élèves de Terminale qui envisagent d’intégrer une prépa, je ne crois pas que prendre de l’avance en potassant seul le programme de prépa soit d’une grande utilité. En revanche, travailler sur des sujets un peu épineux (olympiades, concours général…) et peaufiner la rédaction et l’autoévaluation peut être intéressant, soit pendant l’été avant la rentrée en prépa, soit, mieux encore, pendant l’année de Terminale.

Prépa

Pour les élèves de prépa, plusieurs types de cours sont possibles, éventuellement associés :

  • Séances de questions/réponses : Nous convenons un thème et je réponds à toutes vos questions. Cela nécessite évidemment en amont un travail de l’élève pour déterminer les points à éclaircir. Cela peut se faire avec plusieurs élèves (jusqu’à 3), pour bénéficier des questions des autres et baisser le coût du cours.
    Ce type de séance peut représenter un gain de temps considérable et est idéal pour peaufiner les révisions avant les écrits ou les oraux, ou encore remettre bien à plat le programme de sup avant l’entrée en spé
  • Travail sur sujets de concours : Nous convenons d’un thème, et je choisis un sujet d’écrit ou des sujets d’oraux. L’élève travaille dessus et je le conseille sur la manière de lire l’énoncé, sur les questions à se poser, associations d’idées utiles pour trouver la réponse. Si les sujets sont variés, les questions que l’on peut se poser ne le sont pas tant que ça.
  • En pratique, les deux sont toujours ou presque combinés.

Dans tous les cas, ce type de cours particulier sert à optimiser le travail personnel, qu’il ne remplace en aucun cas. En particulier, je ne connais pas de raccourci à l’apprentissage et les cours de dernière minute ne peuvent servir qu’à ordonner, structurer un peu plus ce qui est déjà connu mais pas à rattrapper le temps perdu.

Méthodologie en mathématiques : les questions clé

Les mathématiques sont un jeu (auquel on aime jouer ou pas mais ceci est une autre question…).

Pour y jouer, il faut savoir avec quoi on joue. Ici, ce sont des nombres, théorèmes, objets géométriques… Pour connaître ce qui se cache derrière ces mots, la question est « qu’est-ce que ça veut dire ? ». Ensuite, il y a des règles du jeux à respecter faute de quoi on a une pénalité. La règle de base est : Toutes les réponses à tous les « pourquoi ? » que l’on peut se poser doit figurer soit dans l’énoncé, soit dans le cours. Enfin, pour gagner (répondre complètement à la question en ayant respecté les règles du jeu), il vaut mieux avoir une stratégie. Au delà des techniques particulières, une stratégie porteuse de la 6ème à la prépa (et même après) repose sur la question : « À quoi est-ce que ça me fait penser ? »

Les mathématiques sont la seule science
où on ne sait pas de quoi on parle
ni si ce qu’on dit est vrai.
(Bertrand Russell)

Qu’est-ce que ça veut dire ?

Pour répondre à une question, il faut d’abord bien la comprendre. Cela veut dire repérer les mots importants et avoir une idée claire du sens de chacun de ces mots. Il ne s’agit pas seulement de connaître par cœur la définition (voir article « apprendre les mathématiques » bientôt sur ce site)

À quoi est-ce que ça me fait penser ?

Mentalement ou au brouillon, on dresse une liste d’idées (propriétés, théorèmes ou exercices type) associées aux mots clé et/ou à la figure, en séparant données de départ  (qui comprennent les réponses déjà trouvées) et conclusion. Le but est de trouver une suite d’associations d’idées qui permette de cheminer des données à la conclusion.

Par exemple :

à quoi est-ce que ça me fait penser ?

à quoi est-ce que ça me fait penser ?

 

(d’autres exemples plus concrets, par classe, bientôt sur ce site)

Sur le schéma ci-dessus, plusieurs idées ne sont pas utilisées. Il est tout de même important d’y penser car dans un autre contexte, ce sont peut-être celles-ci qui permettent de résoudre l’exercice.

Plus on le fait souvent, plus on le fait vite, et moins on a besoin de le faire car on « trouve » tout de suite la méthode. Pour s’entraîner, je conseille la méthode des cartes heuristiques (un article bientôt sur ce site), formidable outil d’apprentissage.

À cette étape, on est dans l’imaginaire. Toutes les idées sont bonnes à prendre en considération. Quand on a trouvé un enchaînement entre les données et la conclusion, on peut passer à l’étape suivante.

Pourquoi ?

Vous avez toutes les bonnes étapes, il ne reste plus qu’à les mettre en forme dans le bon ordre, en respectant LA règle du jeu : Toutes les réponses à tous les « pourquois » sont dans le cours, dans les données ou sur la copie. Tout contrevenant fera l’objet d’un commentaire du genre : « Pourquoi peut-on écrire cela? », « Expliquez ? », « Détaillez ? », « Justifiez ? », « Explicitez »… (voir dictionnaire des synonymes)

En fait, on utilise uniquement les données de l’énoncé, les résultats des questions précédentes, et le cours. Toute autre information, même évidente, doit être accompagné de l’explication du « pourquoi » on peut l’utiliser si elle n’est pas dans l’énoncé (cette règle peut avoir quelques exceptions après le bac pour les raisonnements simples).

En pratique, on peut se poser la question du « pourquoi » dès l’étape précédente, avant de commencer à rédiger, et cela permet de compléter les étapes du raisonnement.

Des questions à se poser le plus souvent possible en classe.

Les questions qui précèdent sont utiles pour aborder un exercice ou un problème. Toutefois, elles sont d’autant plus utiles qu’on a pris l’habitude de se les poser avant de se retrouver face à cet exercice. Par exemple, la question « à quoi est-ce que ça me fait penser ? » ne portera tous ses fruits que si, sur un exercice que l’on avait pas trouvé seul, on s’est posé les questions : « comment est-ce que j’aurais pu trouver tout seul ? », « quel est le mot que je ne connaissais pas bien ? », « à quelle méthode/propriété/théorème est-ce que ce mot aurait pu me faire penser ? », « Pourquoi telle ou telle phrase de la rédaction est-elle importante (ou pas) ? »…

Pour les élèves qui envisagent des études universitaires, en particulier scientifiques ou en classes prépa, cultiver ce reflexe leur apportera une profondeur de réflexion qui leur sera d’une grande aide au fil de ces études.

Conclusion

Ces questions ne résolvent pas tout à elles seules. Elles ne délivrent leurs réponses que si on choisit de cultiver l’habitude de se les poser, en particulier en classe et pendant que l’on revoit le travail fait en classe. Et si on ne trouve pas la réponse tout seul, on doit demander au professeur à la fin du cours ou au cours suivant.

En résumé, il faut :

  • bien connaître le cours (définitions, propriétés, théorèmes et méthodes)
  • bien comprendre l’énoncé et ses mots-clé
  • faire, mentalement ou au brouillon, une liste des associations d’idées que l’on peut faire entre les mots clé et les méthodes et théorèmes vus en cours.
  • prendre l’habitude de se poser la question « Pourquoi ce qui est écrit ici est vrai ? »