Des « égal » plus égaux que d’autres

coluche
Les hommes naissent libres et égaux,
mais certains sont plus égaux que d’autres
(Coluche)

 

L’égalité mathématique désigne la relation entre deux objets qui seraient parfaitement équivalents, substituables l’un à l’autre. On la représente par le signe $=$.

Toutefois, ce symbole est utilisé dans des contextes bien différents, et ce sans que la différence sémantique ne soit discutée en classe, (pour ce que je peux constater auprès de mes élèves).

Je vous propose d’explorer ces différentes facettes du $=$, à savoir :

  • l’identité (que l’on utilise dans les calculs)
  • la définition (attribution d’une valeur à une lettre par exemple)
  • la proposition (égal des équations)

Notamment en voyant comment les notions sous-jacentes sont traitées en informatique.

Le égal égal

Quand on fait un calcul, disons $2 + 3 =5$ pour rester simples, le égal ici nous dit que le nombre obtenu en ajoutant $2$ et $3$ et le nombre $5$ sont une seule et même chose. On pourrait remplacer l’un par l’autre. Toutefois on écrit rarement $5 = 3 + 2$ et pour les élèves, ce $=$ veut dire « donne », c’est comme la touche de la calculatrice qui donne le résultat, ce qui amène des erreurs d’écriture dont je ne parlerai pas ici.

C’est pourtant bien le même $=$ que celui que l’on utilise en 5è, on apprend à développer, factoriser,  et les formules que l’on apprend sont des identités.

$k.(a+b)=k.a+k.b$ pour tous les nombres $k$, $a$, $b$. On appelle ce genre de relation identité car on peut substituer l’une à l’autre écriture en fonction de ce que l’on souhaite faire. C’est égal, identique. C’est également toujours vrai, personne ne saurait trouver de nombres $k$, $a$, et $b$ pour lesquels cela ne fonctionnerait pas.

De plus, le symbole ici est parfaitement adapté car on passe de l’un à l’autre de gauche à droite ou de droite à gauche, ce que suggère la symétrie du symbole.

Le égal d’attribution.

On voit aussi parfois des exercices comme :

On pose $A = 2n^2 + 3n-2$ où $n$ est un entier positif. Calculer $A$ quand $n=2$ puis quand $n=10$

Ici, $A$ et $n$ ne sont pas n’importe quel nombre. Ils sont liés. Si on choisissait $A$ et $n$ au hasard, il y a toutes les chances pour que l’égalité ne soit plus vraie. C’est déjà une grande nuance par rapport à tout à l’heure. De même $n$ n’est pas toujours égal à $2$. La preuve, dans la question suivante, $n$ vaut $10$. Il faudrait savoir !

En fait ici,  $=$ dans cet exercice sert à définir, à donner une valeur à $n$. La lettre $A$ représente une expression qui dépend de $n$, que l’on appelle $A$ pour pouvoir la désigner de manière concise. Pour chaque valeur de $n$, le calcul $2n + 3n-2$ donne un résultat différent. $n$ est une variable et $A$ une expression dont la valeur dépend de $n$.

Quand on impose une valeur à $n$, on devrait écrire $n:=2$, $n←2$ ou $2→n$ comme on le fait en informatique. De nombreux ouvrages universitaires récents (Warusfel, RMS,…) font d’ores et déjà usage de ce $:=$ dont je ne serais pas surpris qu’il devienne la norme en Mathématiques également. Ce qu’il faut retenir ici c’est qu’il y a un sens. $1+1=2$ dans les deux sens mais si on peut poser comme convention que $n$ prend la valeur $2$, ce qui nous autorise à remplacer $n$ par $2$ pour mener le calcul, cela n’aurait pas beaucoup de sens de se dire : « Tiens, je vais remplacer les nombres $2$ par la lettre $n$. » L’écriture $2$ se suffit à elle même.

Les égals pas égaux…

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Pour finir cet aperçu des différentes utilisations du symbole $=$ nous allons parler des équations. Une équation consiste en deux expressions littérales liées par un signe égal. On cherche la ou les valeurs des inconnues de l’équation.

Il me semble important de bien comprendre que ces deux expressions ne sont pas égales a priori mais qu’on aimerait savoir si elles le sont au moins pour quelques valeurs de $x$, ou $y$ ou quelle que soit la (les) lettres qu’on ait choisi pour désigner la (les) inconnue(s).

Par exemple, considérons l’équation $2x+3=x+8$, d’inconnue $x$. Si vous choisissez une valeur pour $x$ et faites les calculs de part et d’autre du signe =, vous trouverez (sauf coup de chance) des choses différentes. En tâtonnant, vous finirez par trouver une valeur qui convient, qu’on appelle solution.

On peut aussi « résoudre » l’équation écrivant une suite d’équations équivalentes. Pour cela, regardons d’abord ce que signifie ce signe $=$.

Dans une équation, le $=$ est une relation logique qui, pour un nombre $x$ fixé peut être soit vraie ou fausse. Quand on résout une équation, on enchaîne les propositions qui vont être « vraies » ou « fausses » pour les mêmes valeurs de l’inconnue. Reprenons notre exemple précédent. On écrira :

« Les équations suivantes sont équivalentes :

$2x+3=x+8$
$2x-x=8-3$
$x=5$

L’unique solution de l’équation est $5$. »

Notons ici que la troisième ligne : $x=5$ est aussi une équation. Nous ne sommes pas, comme précédemment, en train de définir $x:=5$. Nous disons ici que la relation « $2x+3=x+8$ » est vraie si et seulement si la relation « $x=5$ » est vraie. La seule valeur de $x$ qui rende vraie cette dernière relation est évidemment $5$ ! En résolvant une équation, on peut être amené à écrire des choses hérissantes comme $0=1$ ! L’équation qui va suivre est digne de considération :

$x^{2}-3x+x(x+1)=(2x+1)(x-3)+3x$

En développant dans chaque membre on obtient l’équation équivalente :
$x^{2}-3x+x^{2}+x=2x^{2}-6x+x-3+3x$ puis en réduisant
$2x^{2}-2x=2x^{2}-2x-3$

enfin $0=3$

En général, à ce moment précis, un vertige s’empare de l’élève qui s’empresse d’ajouter « IMPOSSIBLE ! l’équation n’a pas de solution. » Ouf.

Mais on peut tout à fait écrire $0=3$ dans car il ne s’agit pas d’une égalité mais d’une relation, qui peut être vraie ou fausse selon les valeurs de $x$. En l’occurrence ici, on ne saurait trouver de valeur de $x$ qui rende vraie l’égalité donc l’équation n’a pas de solution !

En informatique, on utilise souvent le double égal == pour tester une égalité. Quand on écrit par exemple :

if n^2-3n==2k+1 then <commandes>

L’ordinateur teste si les nombres obtenus en calculant $n^{2}-3n$ et $2k+1$ (avec les valeurs de $k$ et $n$ qu’il a en mémoire à ce moment là) sont égales ou non. Si oui, il renvoie la valeur 1 (VRAI), sinon, il renvoie la valeur 0 (FAUX) Cette notation est symétrique à juste titre et me fait penser au $=$ des équations qui représente plus un « souhait » d’égalité qu’une égalité réelle.

Une question de contexte

Une même expression mathématique prendra donc un sens tout à fait différent selon le contexte dans laquelle elle est écrite.

Par exemple, si on écrit $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ tout seul, cela n’a pas vraiment de sens car on ne sait pas s’il s’agit d’une équation ou d’une identité.

En écrivant : « Pour tout nombre $x$, on a $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ », on a une identité, c’est à dire une vraie égalité.

Si on ne précise pas « pour tout nombre $x$ », on ne peut pas le savoir et on pourrait considérer l’expression comme une équation. Puisqu’ici la relation est toujours vraie, pour tout $x$, on pourrait alors dire : « Tout nombre $x$ est solution de l’équation !

On est souvent amené à mêler les deux. Dans les exemples d’équations précédents, j’ai développé des expressions, c’est à dire j’ai remplacé une expression par une autre identique, égale pour tout $x$ afin d’obtenir une nouvelle équation équivalente.

Égal ou pas

On rencontre en mathématiques des exercices où l’on doit tester une égalité. Nous allons discuter de trois cas que l’on rencontre au collège :

  • tester si un nombre est solution d’une équation donnée
  • déterminer si un triangle est rectangle ou non avec la réciproque ou la contraposée du théorème du Pythagore
  • déterminer si deux droites sont parallèles ou non avec la contraposée ou la réciproque du théorème de Thalès.

Ces trois cas relèvent en fait d’une même logique où l’on teste une égalité. Dans ce cas, on ne sait pas au départ si l’égalité est vérifiée ou pas. La méthode est donc la même : on calcule séparément chaque membre de l’égalité, ce qui nous permet de savoir si c’est égal ou non et d’en conclure quelque-chose.

Par exemple : 3 est-il solution de l’équation $2x-3=5x+2$ ?

Pour $x=3$ nous avons
d’une part $2x-3=2×3-3=6-3=3$
et d’autre part $5x+2=5×3+2=15+2=17$

Nous voyons ainsi que, pour $x=3$, $2x-3\neq 5x+2$ et $3$ n’est donc pas solution de l’équation.

De même, pour le théorème de Pythagore, on calcule séparément les termes afin de savoir si la relation est vérifiée ou non. Par exemple, si un triangle $ABC$ a pour dimensions $AB=8$, $BC=6$ et $AC=10$. Est-il rectangle ?

D’une part, $AC^{2} = 10^{2} = 100$
D’autre part, $AB^{2} + BC^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100$

On constate que $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Dans ce cas, comme pour l’équation, il s’agit de savoir si la relation est vérifiée ou non, si l’égalité est vraie ou non.

AVERTISSEMENT : Je déconseille la lecture de ce qui suit aux personnes qui préfèrent les méthodes éprouvées et les invite à passer à la conclusion. À ceux qui souhaitent voir d’autres aspects de la logique, j’aimerais montrer que, moyennant quelques ajustements, la rédaction honnie (à juste titre) par tous les profs de maths peut être parfaitement valide…  si l’on joue sur les différents sens du signe $=$. Nous allons écrire des propositions équivalentes, en nous concentrant uniquement sur le caractère vrai ou faux de celles-ci.

Par exemple, pour $x=3$, les relations suivantes sont équivalentes :

$2x-3=5x+2$
$2×3-3=5×3+2$
$6-3=15+2$
$3=17$

La dernière relation est fausse donc la première l’est aussi pour $x=3$ ce qui prouve que $3$ n’est pas solution de l’équation.

Il est, je le rappelle, interdit de rédiger comme cela sauf si chaque $=$ représente non pas une égalité mais une relation qui peut être vraie ou fausse. Cela doit apparaître très clairement. Si vous êtes élève en collège ou lycée, je ne peux que vous recommander de rédiger comme vos enseignants vous l’ont appris plutôt que comme ci-dessus.

En conclusion

Il est bon de connaître cette polysémie du symbole $=$ car cela peut nous éviter certaines erreurs de logique. Disons pour résumer que l’on peut toujours remplacer une expression, un nombre, par un autre qui lui est « identique », égal dans tous les cas afin d’avancer dans le raisonnement. Enfin, notamment dans le supérieur (mais en fait dès l’introduction des équations en classe de 5ème) on manipule des $=$ qui représentent des relations, vraies ou fausses dans des raisonnements logiques.

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