Méthodologie en mathématiques : les questions clé

Les mathématiques sont un jeu (auquel on aime jouer ou pas mais ceci est une autre question…).

Pour y jouer, il faut savoir avec quoi on joue. Ici, ce sont des nombres, théorèmes, objets géométriques… Pour connaître ce qui se cache derrière ces mots, la question est « qu’est-ce que ça veut dire ? ». Ensuite, il y a des règles du jeux à respecter faute de quoi on a une pénalité. La règle de base est : Toutes les réponses à tous les « pourquoi ? » que l’on peut se poser doit figurer soit dans l’énoncé, soit dans le cours. Enfin, pour gagner (répondre complètement à la question en ayant respecté les règles du jeu), il vaut mieux avoir une stratégie. Au delà des techniques particulières, une stratégie porteuse de la 6ème à la prépa (et même après) repose sur la question : « À quoi est-ce que ça me fait penser ? »

Les mathématiques sont la seule science
où on ne sait pas de quoi on parle
ni si ce qu’on dit est vrai.
(Bertrand Russell)

Qu’est-ce que ça veut dire ?

Pour répondre à une question, il faut d’abord bien la comprendre. Cela veut dire repérer les mots importants et avoir une idée claire du sens de chacun de ces mots. Il ne s’agit pas seulement de connaître par cœur la définition (voir article « apprendre les mathématiques » bientôt sur ce site)

À quoi est-ce que ça me fait penser ?

Mentalement ou au brouillon, on dresse une liste d’idées (propriétés, théorèmes ou exercices type) associées aux mots clé et/ou à la figure, en séparant données de départ  (qui comprennent les réponses déjà trouvées) et conclusion. Le but est de trouver une suite d’associations d’idées qui permette de cheminer des données à la conclusion.

Par exemple :

à quoi est-ce que ça me fait penser ?

à quoi est-ce que ça me fait penser ?

 

(d’autres exemples plus concrets, par classe, bientôt sur ce site)

Sur le schéma ci-dessus, plusieurs idées ne sont pas utilisées. Il est tout de même important d’y penser car dans un autre contexte, ce sont peut-être celles-ci qui permettent de résoudre l’exercice.

Plus on le fait souvent, plus on le fait vite, et moins on a besoin de le faire car on « trouve » tout de suite la méthode. Pour s’entraîner, je conseille la méthode des cartes heuristiques (un article bientôt sur ce site), formidable outil d’apprentissage.

À cette étape, on est dans l’imaginaire. Toutes les idées sont bonnes à prendre en considération. Quand on a trouvé un enchaînement entre les données et la conclusion, on peut passer à l’étape suivante.

Pourquoi ?

Vous avez toutes les bonnes étapes, il ne reste plus qu’à les mettre en forme dans le bon ordre, en respectant LA règle du jeu : Toutes les réponses à tous les « pourquois » sont dans le cours, dans les données ou sur la copie. Tout contrevenant fera l’objet d’un commentaire du genre : « Pourquoi peut-on écrire cela? », « Expliquez ? », « Détaillez ? », « Justifiez ? », « Explicitez »… (voir dictionnaire des synonymes)

En fait, on utilise uniquement les données de l’énoncé, les résultats des questions précédentes, et le cours. Toute autre information, même évidente, doit être accompagné de l’explication du « pourquoi » on peut l’utiliser si elle n’est pas dans l’énoncé (cette règle peut avoir quelques exceptions après le bac pour les raisonnements simples).

En pratique, on peut se poser la question du « pourquoi » dès l’étape précédente, avant de commencer à rédiger, et cela permet de compléter les étapes du raisonnement.

Des questions à se poser le plus souvent possible en classe.

Les questions qui précèdent sont utiles pour aborder un exercice ou un problème. Toutefois, elles sont d’autant plus utiles qu’on a pris l’habitude de se les poser avant de se retrouver face à cet exercice. Par exemple, la question « à quoi est-ce que ça me fait penser ? » ne portera tous ses fruits que si, sur un exercice que l’on avait pas trouvé seul, on s’est posé les questions : « comment est-ce que j’aurais pu trouver tout seul ? », « quel est le mot que je ne connaissais pas bien ? », « à quelle méthode/propriété/théorème est-ce que ce mot aurait pu me faire penser ? », « Pourquoi telle ou telle phrase de la rédaction est-elle importante (ou pas) ? »…

Pour les élèves qui envisagent des études universitaires, en particulier scientifiques ou en classes prépa, cultiver ce reflexe leur apportera une profondeur de réflexion qui leur sera d’une grande aide au fil de ces études.

Conclusion

Ces questions ne résolvent pas tout à elles seules. Elles ne délivrent leurs réponses que si on choisit de cultiver l’habitude de se les poser, en particulier en classe et pendant que l’on revoit le travail fait en classe. Et si on ne trouve pas la réponse tout seul, on doit demander au professeur à la fin du cours ou au cours suivant.

En résumé, il faut :

  • bien connaître le cours (définitions, propriétés, théorèmes et méthodes)
  • bien comprendre l’énoncé et ses mots-clé
  • faire, mentalement ou au brouillon, une liste des associations d’idées que l’on peut faire entre les mots clé et les méthodes et théorèmes vus en cours.
  • prendre l’habitude de se poser la question « Pourquoi ce qui est écrit ici est vrai ? »

1 comment for “Méthodologie en mathématiques : les questions clé

  1. Françoise
    12 mai 2011 at 7 h 32 min

    Bonjour,
    C’est amusant, car je suis prof de lettres, et en lisant votre article, j’ai l’impression que j’enseigne la même matière que vous!