Rigueur et intuition, les deux faces des mathématiques

einstein, intuition

L'intuition est plus importante que la connaissance (Einstein)

On connaît souvent le côté « froid » des mathématiques, leur « exactitude ». Ce que l’on sait moins, c’est qu’il y a autant de façons de faire des mathématiques que d’apprentis matheux !  Ce qui se passe dans la tête de quelqu’un qui fait des mathématiques reste un grand mystère, qui ne suit pas de règles. D’ailleurs, les chercheurs en mathématiques sont souvent de fins philosophes et parfois de grands poètes dans l’âme.

Le point commun de tous ceux qui font des mathématiques, élèves et professeurs à tous les niveaux, c’est qu’ils utilisent (parfois sans le savoir) deux aspects de la connaissance qui sont le savoir et l’intuition.

Le savoir, c’est le cours, les définitions, les théorèmes… précis, exacts et carrés, bref… mathématiques.

L’intuition, c’est ce qui fait qu’on passe d’une idée à l’autre, c’est cette foule d’associations d’idées qui viennent quand on se pose les bonnes questions, et permet de se lancer, de continuer, et d’arriver au bout de la démonstration

L’intuition, c’est commencer à écrire au brouillon, sans savoir où l’on va, juste pour se sortir les idées de la tête

La rigueur, c’est l’art de choisir parmi toutes ces idées et de les formuler en suivant les règles de rédaction propres à la langue mathématique.

En fait, on passe constamment de l’un à l’autre.

La rigueur dans l’intuition.

Le côté obscur de l’intuition, c’est la rêverie. Par exemple, on pense à tellement de choses qu’on ne sait plus choisir. Ou bien on invente des théorèmes (parfois vrais !) qui seraient bien utiles pour notre démonstration mais qui ne font pas partie des outils que l’on a le droit d’utiliser (on peut alors éventuellement les démontrer !)

En fait, quand on connait bien le cours et les propriétés (savoir, rigueur), cela cadre l’intuition car, en fait, il n’y a pas tant que ça de possibilités d’associations. Un bon moyen pour stimuler et cadrer l’intuition consiste à faire des « fiches d’associations d’idées » pour les mots importants (voir exemple ici). Avec un peu de pratique, on fabrique des arbres d’idées qui portent leurs fruits, c’est à dire dessinent un chemin entre les données de l’exercice et la conclusion recherchée (exemple ici)

De l’intuition dans la rigueur.

Le côté obscur de la rigueur, c’est la raideur. Si l’on ne fait qu’apprendre par coeur, on ne sait plus quoi faire quand ça change un petit peu, on manque de souplesse. On est perdu parce que « ce n’est pas pareil ». Le but de l’éducation aux mathématiques n’est pas de faire des robots, mais d’apprendre à utiliser un outil, un langage qui permet de modéliser, de prévoir, de comparer… bref qui sert à énormément de choses dans notre société rationelle.

Quand on a cette tendance à l’hyperrigueur, il faut éviter d’ajouter plus de « par cœur ». Pour assouplir la pratique des maths, on peut réviser en se demandant : « qu’est-ce qui aurait pu me faire penser à faire comme ceci ? ». Les exercices sont uniques, seules les questions sont recyclables.

Passer de l’un à l’autre

Pour passer de la rigueur à l’imagination, et de l’imagination à la rigueur, il y a… les questions

Quand on est bloqué, qu’on ne voit pas, on peut lancer la machine à associations d’idées en se posant les questions :

  • Quelle est la définition de ce mot ?
  • À quoi est-ce que ça me fait penser ?
  • Et si je pouvais faire comme je veux, comment je ferais ? (question réservée au brouillon !)

Inversement, quand on a plein d’idées, et qu’on arrive au moment de les mettre en formes, ces quelques questions peuvent aider à structurer  les idées encore éparpillées.

  • Pourquoi est-ce que je peux écrire cela ?
  • Est-ce vrai ?
  • De quoi ai-je besoin pour utiliser cette idée, propriété… ?

A cette étape, toutes les réponses à tous les « pourquoi » doivent être sur la copie, sinon on peut reprendre la phase « intuition » pour trouver les chaînons manquants.

Conclusion

Entre rigueur et intuition, il n’y a pas à choisir. Les deux sont un précieux atout pour l’étude des mathématiques et l’idéal pour se faire de la mathématique une alliée plutôt qu’un obstacle est de cultiver les deux attitudes, surtout si l’on se connaît une dominante.

 

 

1 comment for “Rigueur et intuition, les deux faces des mathématiques

  1. 30 juillet 2011 at 16 h 23 min

    pourquoi pas:)