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Rigueur et intuition, les deux faces des mathématiques

einstein, intuition

L'intuition est plus importante que la connaissance (Einstein)

On connaît souvent le côté « froid » des mathématiques, leur « exactitude ». Ce que l’on sait moins, c’est qu’il y a autant de façons de faire des mathématiques que d’apprentis matheux !  Ce qui se passe dans la tête de quelqu’un qui fait des mathématiques reste un grand mystère, qui ne suit pas de règles. D’ailleurs, les chercheurs en mathématiques sont souvent de fins philosophes et parfois de grands poètes dans l’âme.

Le point commun de tous ceux qui font des mathématiques, élèves et professeurs à tous les niveaux, c’est qu’ils utilisent (parfois sans le savoir) deux aspects de la connaissance qui sont le savoir et l’intuition.

Le savoir, c’est le cours, les définitions, les théorèmes… précis, exacts et carrés, bref… mathématiques.

L’intuition, c’est ce qui fait qu’on passe d’une idée à l’autre, c’est cette foule d’associations d’idées qui viennent quand on se pose les bonnes questions, et permet de se lancer, de continuer, et d’arriver au bout de la démonstration

L’intuition, c’est commencer à écrire au brouillon, sans savoir où l’on va, juste pour se sortir les idées de la tête

La rigueur, c’est l’art de choisir parmi toutes ces idées et de les formuler en suivant les règles de rédaction propres à la langue mathématique.

En fait, on passe constamment de l’un à l’autre.

La rigueur dans l’intuition.

Le côté obscur de l’intuition, c’est la rêverie. Par exemple, on pense à tellement de choses qu’on ne sait plus choisir. Ou bien on invente des théorèmes (parfois vrais !) qui seraient bien utiles pour notre démonstration mais qui ne font pas partie des outils que l’on a le droit d’utiliser (on peut alors éventuellement les démontrer !)

En fait, quand on connait bien le cours et les propriétés (savoir, rigueur), cela cadre l’intuition car, en fait, il n’y a pas tant que ça de possibilités d’associations. Un bon moyen pour stimuler et cadrer l’intuition consiste à faire des « fiches d’associations d’idées » pour les mots importants (voir exemple ici). Avec un peu de pratique, on fabrique des arbres d’idées qui portent leurs fruits, c’est à dire dessinent un chemin entre les données de l’exercice et la conclusion recherchée (exemple ici)

De l’intuition dans la rigueur.

Le côté obscur de la rigueur, c’est la raideur. Si l’on ne fait qu’apprendre par coeur, on ne sait plus quoi faire quand ça change un petit peu, on manque de souplesse. On est perdu parce que « ce n’est pas pareil ». Le but de l’éducation aux mathématiques n’est pas de faire des robots, mais d’apprendre à utiliser un outil, un langage qui permet de modéliser, de prévoir, de comparer… bref qui sert à énormément de choses dans notre société rationelle.

Quand on a cette tendance à l’hyperrigueur, il faut éviter d’ajouter plus de « par cœur ». Pour assouplir la pratique des maths, on peut réviser en se demandant : « qu’est-ce qui aurait pu me faire penser à faire comme ceci ? ». Les exercices sont uniques, seules les questions sont recyclables.

Passer de l’un à l’autre

Pour passer de la rigueur à l’imagination, et de l’imagination à la rigueur, il y a… les questions

Quand on est bloqué, qu’on ne voit pas, on peut lancer la machine à associations d’idées en se posant les questions :

  • Quelle est la définition de ce mot ?
  • À quoi est-ce que ça me fait penser ?
  • Et si je pouvais faire comme je veux, comment je ferais ? (question réservée au brouillon !)

Inversement, quand on a plein d’idées, et qu’on arrive au moment de les mettre en formes, ces quelques questions peuvent aider à structurer  les idées encore éparpillées.

  • Pourquoi est-ce que je peux écrire cela ?
  • Est-ce vrai ?
  • De quoi ai-je besoin pour utiliser cette idée, propriété… ?

A cette étape, toutes les réponses à tous les « pourquoi » doivent être sur la copie, sinon on peut reprendre la phase « intuition » pour trouver les chaînons manquants.

Conclusion

Entre rigueur et intuition, il n’y a pas à choisir. Les deux sont un précieux atout pour l’étude des mathématiques et l’idéal pour se faire de la mathématique une alliée plutôt qu’un obstacle est de cultiver les deux attitudes, surtout si l’on se connaît une dominante.

 

 

Méthodologie en mathématiques : les questions clé

Les mathématiques sont un jeu (auquel on aime jouer ou pas mais ceci est une autre question…).

Pour y jouer, il faut savoir avec quoi on joue. Ici, ce sont des nombres, théorèmes, objets géométriques… Pour connaître ce qui se cache derrière ces mots, la question est « qu’est-ce que ça veut dire ? ». Ensuite, il y a des règles du jeux à respecter faute de quoi on a une pénalité. La règle de base est : Toutes les réponses à tous les « pourquoi ? » que l’on peut se poser doit figurer soit dans l’énoncé, soit dans le cours. Enfin, pour gagner (répondre complètement à la question en ayant respecté les règles du jeu), il vaut mieux avoir une stratégie. Au delà des techniques particulières, une stratégie porteuse de la 6ème à la prépa (et même après) repose sur la question : « À quoi est-ce que ça me fait penser ? »

Les mathématiques sont la seule science
où on ne sait pas de quoi on parle
ni si ce qu’on dit est vrai.
(Bertrand Russell)

Qu’est-ce que ça veut dire ?

Pour répondre à une question, il faut d’abord bien la comprendre. Cela veut dire repérer les mots importants et avoir une idée claire du sens de chacun de ces mots. Il ne s’agit pas seulement de connaître par cœur la définition (voir article « apprendre les mathématiques » bientôt sur ce site)

À quoi est-ce que ça me fait penser ?

Mentalement ou au brouillon, on dresse une liste d’idées (propriétés, théorèmes ou exercices type) associées aux mots clé et/ou à la figure, en séparant données de départ  (qui comprennent les réponses déjà trouvées) et conclusion. Le but est de trouver une suite d’associations d’idées qui permette de cheminer des données à la conclusion.

Par exemple :

à quoi est-ce que ça me fait penser ?

à quoi est-ce que ça me fait penser ?

 

(d’autres exemples plus concrets, par classe, bientôt sur ce site)

Sur le schéma ci-dessus, plusieurs idées ne sont pas utilisées. Il est tout de même important d’y penser car dans un autre contexte, ce sont peut-être celles-ci qui permettent de résoudre l’exercice.

Plus on le fait souvent, plus on le fait vite, et moins on a besoin de le faire car on « trouve » tout de suite la méthode. Pour s’entraîner, je conseille la méthode des cartes heuristiques (un article bientôt sur ce site), formidable outil d’apprentissage.

À cette étape, on est dans l’imaginaire. Toutes les idées sont bonnes à prendre en considération. Quand on a trouvé un enchaînement entre les données et la conclusion, on peut passer à l’étape suivante.

Pourquoi ?

Vous avez toutes les bonnes étapes, il ne reste plus qu’à les mettre en forme dans le bon ordre, en respectant LA règle du jeu : Toutes les réponses à tous les « pourquois » sont dans le cours, dans les données ou sur la copie. Tout contrevenant fera l’objet d’un commentaire du genre : « Pourquoi peut-on écrire cela? », « Expliquez ? », « Détaillez ? », « Justifiez ? », « Explicitez »… (voir dictionnaire des synonymes)

En fait, on utilise uniquement les données de l’énoncé, les résultats des questions précédentes, et le cours. Toute autre information, même évidente, doit être accompagné de l’explication du « pourquoi » on peut l’utiliser si elle n’est pas dans l’énoncé (cette règle peut avoir quelques exceptions après le bac pour les raisonnements simples).

En pratique, on peut se poser la question du « pourquoi » dès l’étape précédente, avant de commencer à rédiger, et cela permet de compléter les étapes du raisonnement.

Des questions à se poser le plus souvent possible en classe.

Les questions qui précèdent sont utiles pour aborder un exercice ou un problème. Toutefois, elles sont d’autant plus utiles qu’on a pris l’habitude de se les poser avant de se retrouver face à cet exercice. Par exemple, la question « à quoi est-ce que ça me fait penser ? » ne portera tous ses fruits que si, sur un exercice que l’on avait pas trouvé seul, on s’est posé les questions : « comment est-ce que j’aurais pu trouver tout seul ? », « quel est le mot que je ne connaissais pas bien ? », « à quelle méthode/propriété/théorème est-ce que ce mot aurait pu me faire penser ? », « Pourquoi telle ou telle phrase de la rédaction est-elle importante (ou pas) ? »…

Pour les élèves qui envisagent des études universitaires, en particulier scientifiques ou en classes prépa, cultiver ce reflexe leur apportera une profondeur de réflexion qui leur sera d’une grande aide au fil de ces études.

Conclusion

Ces questions ne résolvent pas tout à elles seules. Elles ne délivrent leurs réponses que si on choisit de cultiver l’habitude de se les poser, en particulier en classe et pendant que l’on revoit le travail fait en classe. Et si on ne trouve pas la réponse tout seul, on doit demander au professeur à la fin du cours ou au cours suivant.

En résumé, il faut :

  • bien connaître le cours (définitions, propriétés, théorèmes et méthodes)
  • bien comprendre l’énoncé et ses mots-clé
  • faire, mentalement ou au brouillon, une liste des associations d’idées que l’on peut faire entre les mots clé et les méthodes et théorèmes vus en cours.
  • prendre l’habitude de se poser la question « Pourquoi ce qui est écrit ici est vrai ? »